05 Distribución de la mano de obra por sectores
Los vectores $\pmb{e}$ y $\tilde{\pmb{e}}$ pueden descomponerse en las partes correspondientes a medios de producción y bienes de consumo:
$\pmb{e}=[e_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{e_p}\\\pmb{e_c}\end{bmatrix}$
$\tilde{\pmb{e}}=[\tilde{e_i}]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\tilde{\pmb{e_p}}\\\tilde{\pmb{e_c}}\end{bmatrix}$
donde
$\pmb{e_p}=[e_i]_{i \le p}=\frac{1}{k_0}\pmb{a_p}$ es el vector de las partes del tiempo que todos los individuos en su conjunto dedican a los distintos procesos de producción de los medios de producción;
$\pmb{e_c}=[e_i]_{p+1 \le i \le p+c}=\frac{1}{k_0}\pmb{a_c}$ es el vector de las partes del tiempo que todos los individuos en su conjunto dedican a los distintos procesos de producción de los bienes de consumo;
$\tilde{\pmb{e_p}}=[\tilde{e_i}]_{i \le p}=\frac{1}{k_0}\tilde{\pmb{a_p}}$ es el vector de las cantidades de individuos dedicados a los distintos procesos de producción de los medios de producción; y finalmente
$\tilde{\pmb{e_c}}=[\tilde{e_i}]_{p+1 \le i \le p+c}=\frac{1}{k_0}\tilde{\pmb{a_c}}$ es el vector de las cantidades de individuos dedicados a los distintos procesos de producción de los bienes de consumo.
Para las expresiones anteriores se han tomado las partes del vector de los valores añadidos totales ($\tilde{\pmb{a}}$) descompuesto de forma similar
$\tilde{\pmb{a}}=\begin{bmatrix}\tilde{\pmb{a_p}}\\\tilde{\pmb{a_c}}\end{bmatrix}$
Veamos ahora cuál es el significado de la suma de los componentes de cada uno de estos vectores.
$E_p=sum\left(\pmb{e_p}\right)=sum\left(\frac{1}{k_0}\pmb{a_p}\right)=\frac{1}{k_0}sum\left(\pmb{a_p}\right)=\frac{A_p}{k_0}$ es el coeficiente relativo de participación de la población en el sector de producción de medios de producción, o qué parte del tiempo de producción total de toda la sociedad es dedicado a producir medios de producción.
$E_c=sum\left(\pmb{e_c}\right)=sum\left(\frac{1}{k_0}\pmb{a_c}\right)=\frac{1}{k_0}sum\left(\pmb{a_c}\right)=\frac{A_c}{k_0}$ es el coeficiente relativo de participación de la población en el sector de producción de bienes de consumo, o qué parte del tiempo de producción total de toda la sociedad es dedicado a producir bienes de consumo.
$\tilde{E_p}=sum\left(\tilde{\pmb{e_p}}\right)=sum\left(\frac{1}{k_0}\tilde{\pmb{a_p}}\right)=\frac{1}{k_0}sum\left(N\pmb{a_p}\right)=\frac{NA_p}{k_0}=\frac{\tilde{A_p}}{k_0}$ es la cantidad de individuos ocupados en la producción de medios de producción.
$\tilde{E_c}=sum\left(\tilde{\pmb{e_c}}\right)=sum\left(\frac{1}{k_0}\tilde{\pmb{a_c}}\right)=\frac{1}{k_0}sum\left(N\pmb{a_c}\right)=\frac{NA_c}{k_0}=\frac{\tilde{A_p}}{k_0}$ es la cantidad de individuos ocupados en la producción de bienes de consumo.
Donde $\tilde{A_p}=NA_p$ y $\tilde{A_c}=NA_c$
Asimismo tenemos, como es evidente:
$\tilde{E_p}=NE_p$
$\tilde{E_c}=NE_c$
$E_p$ y $E_c$ son dos partes relativas de un todo $E$ que es la unidad, es decir:
$E_p+E_c=E=1$
$\tilde{E_p}$ y $\tilde{E_c}$ son también dos partes de un todo que es la población $N$, es decir:
$\tilde{E_p}+\tilde{E_c}=NE_p+NE_c=N\left(E_p+E_c\right)=N$
Se ha asumido hasta ahora que todos los individuos de la sociedad, o población del sistema económico ($N$) participan con igual aportación en el proceso de producción. Cabe aquí adelantar que en sociedades reales esto no es así por múltiples razones, y será necesario considerar que el número de empleados en la producción de bienes ($\tilde{E}$) no es igual a la población del sistema.