Índice y enlace a los contenidos de esta parte:
01 Bienes como entidades escasas
02 Cantidades de los objetos de trabajo
03 Cantidades de los medios de trabajo
04 Relaciones de cantidad entre los bienes
05 Volumen de producción homogeneizado
06 Partes del volumen de producción homogeneizado
07 Balance entre los dos grandes sectores de la economía
09 Funciones extendidas de los bienes
10 Análisis de los volúmenes de producción homogeneizados con funciones extendidas
11 Correspondencia del modelo general con el particular
Resumen sobre la escasez de los bienes
01 Bienes como entidades escasas
En el estudio realizado hasta ahora, se han considerado principalmente las relaciones entre los bienes en función del tiempo requerido para su creación. No se habían planteado, sin embargo, restricciones de otra índole, como la disponibilidad limitada de recursos con la que cuenta la sociedad para producir un bien determinado. A partir de este punto, introduciremos el análisis de dichas limitaciones para desentrañar sus consecuencias en el proceso de producción y consumo, buscando así establecer las relaciones cuantitativas entre los bienes.
La naturaleza impone la escasez o abundancia de los bienes como un condicionante esencial de las relaciones económicas. El proceso de producción comienza cuando los individuos extraen de la naturaleza los materiales en su estado original y concluye cuando los productos terminados abandonan la esfera productiva para incorporarse al consumo.
En principio, no se considera consumo la posterior utilización, desgaste o agotamiento de los medios de producción una vez finalizada su elaboración, siempre que estos se reincorporen al proceso productivo como objetos o medios de trabajo. Esto se fundamenta en el enfoque global del presente estudio, el cual define como finalidad básica de la producción la satisfacción de las necesidades directas de los individuos; las necesidades del propio proceso no se consideran directas, sino un medio para alcanzar la satisfacción de aquellas.
No obstante, para estudiar las relaciones cuantitativas entre los bienes, es necesario considerar el consumo de medios de producción que requiere la creación de dichos bienes. Este consumo introduce restricciones en el desarrollo del proceso productivo, debido a que los medios existen en cantidades limitadas.
Hasta este punto, aunque se ha utilizado el concepto de sistema económico, no se había presentado la necesidad de definirlo; este parece ser el momento oportuno.
El sistema económico objeto de este estudio se define como el conjunto de condiciones naturales en las cuales una población de individuos desarrolla actividades cuyo resultado son bienes destinados a satisfacer sus propias necesidades.
En ocasiones se utiliza el término sistema socioeconómico para recalcar el carácter social de estas estructuras. A pesar de que en la teoría podría definirse un sistema económico no social —como la clásica economía de un individuo aislado—, aquí no se considera necesaria tal precisión terminológica, puesto que siempre nos referiremos a sistemas sociales.
La amplitud y generalidad de la definición anterior limitan su utilidad operativa, pero sirve como punto de partida para construir un modelo que, aun siendo más abstracto y alejado de la realidad, es indispensable en una fase inicial para visualizar ciertas relaciones económicas fundamentales en su estado puro. La definición es la siguiente:
Un sistema económico de reproducción simple es aquel en el que los volúmenes de bienes producidos en un período determinado son iguales a los volúmenes consumidos en ese mismo lapso.
En el marco de esta definición, el consumo abarca tanto la utilización de los medios de producción (consumo productivo) como el uso final de los bienes por parte de los individuos (consumo propiamente dicho).
En un sistema de reproducción simple no existe acumulación a largo plazo; es decir, se suceden ciclos económicos en los que se mantienen invariables los volúmenes de producción y consumo, sin que se observe una ampliación de la estructura productiva de un ciclo a otro.
A continuación, iniciaremos el estudio de las relaciones cuantitativas entre los bienes, circunscribiendo el análisis, en una primera etapa de abstracción, a un sistema de estas características.
02 Cantidades de los objetos de trabajo
Al igual que en la parte dedicada a las relaciones temporales entre los bienes, al abordar ahora sus interacciones cuantitativas, iniciaré el análisis centrándome en los objetos de trabajo que intervienen en los procesos de creación.
Los objetos de trabajo se consumen íntegramente en el proceso de producción, transfiriendo su cuerpo material al nuevo bien. Esto elimina la posibilidad de utilizarlos posteriormente como objetos de trabajo en la elaboración de otros bienes, al menos mientras permanezcan incorporados a la estructura del nuevo bien generado.
Recordemos que mediante $no_{ij}$ se designaba la cantidad de un determinado objeto de trabajo $j$ que debe incorporarse al proceso de producción para ser transformado en parte integrante del bien a elaborar $i$.
A continuación, se analizarán los volúmenes de cada uno de los $g$ tipos de bienes que componen el conjunto total producido en un período determinado.
En principio, el intervalo de tiempo tomado como referencia es indiferente y dependerá de la granularidad de los datos analizados; no obstante, deberá ser lo suficientemente prolongado como para que se manifiesten las propiedades cíclicas del proceso de producción.
Aunque a menudo los volúmenes de producción se estudian en un intervalo anual, en este análisis no se fijará de forma general el período adoptado como tiempo base para medir los volúmenes de producción de un bien determinado $i$. Así, se designará por $v_i$ el volumen de producción de dicho bien durante el período de referencia.
Al estudiar un sistema económico de reproducción simple, se observa que durante el período tomado como referencia se produce exactamente la misma cantidad de medios de producción que la consumida o desgastada en ese mismo lapso. El objetivo de esta producción es reponer dicho desgaste para permitir que el proceso productivo continúe en un período idéntico inmediato posterior.
En particular, para mantener el proceso de producción en una condición estable e invariable a lo largo del tiempo, es indispensable que el volumen de producción de cada uno de los $o$ objetos de trabajo en el período actual sea igual a la suma de las cantidades de dichos objetos que se desgastan en la producción de todos los bienes. Solo así se asegura la disponibilidad de elementos necesaria para el siguiente ciclo productivo.
En un sistema económico de reproducción simple —donde no se constituyen reservas y las cantidades de bienes producidas en un período se consumen en el transcurso de ese mismo ciclo—, la condición mencionada se expresa matemáticamente de la siguiente manera:
$\forall j \in O \quad \left( v_j = \sum_{g} v_i no_{ij} \right)$.
03 Cantidades de los medios de trabajo
Analicemos ahora el comportamiento de los medios de trabajo en su condición de bienes escasos y en su función de medios de producción.
A diferencia de los objetos de trabajo, los medios de trabajo no se incorporan materialmente al nuevo bien generado. Sin embargo, su presencia en el proceso productivo es igualmente indispensable y, debido a su participación en este, sufren un desgaste físico que debe reponerse de forma equivalente para mantener estables los volúmenes de producción. Estas magnitudes, equivalentes al desgaste y que se transfieren al nuevo bien en forma de trabajo pretérito, son las que resulta necesario reproducir en idénticas cantidades durante el mismo período.
Con respecto a los medios de trabajo, anteriormente se introdujo la magnitud $dm_{ij}$, denominada durabilidad relativa de un medio de trabajo $j$ al ser utilizado en la producción de un bien determinado $i$. Esta se definió como la cantidad de ejemplares del bien $i$ que pueden elaborarse con la participación de un único ejemplar del medio de trabajo $j$.
Es decir, para generar en un período determinado el volumen $v_i$ de un bien $i$, se requiere que los medios de trabajo empleados aporten, bajo la forma de su propio desgaste físico, una cantidad equivalente al cociente entre dicho volumen y la durabilidad relativa del medio de trabajo en cuestión.
Por lo tanto, para asegurar la viabilidad de un modelo de reproducción estable y no ampliada, el volumen de producción de cada medio de trabajo debe ser exactamente igual a la suma de las fracciones de desgaste requeridas en todos los procesos productivos donde participa.
Para el conjunto de los $m$ medios de trabajo, esta relación se expresa matemáticamente de la siguiente forma:
$\forall j \in M \quad \left( v_j = \sum_{g} \frac{v_i}{dm_{ij}} \right)$.
04 Relaciones de cantidad entre los bienes
En los dos apartados anteriores se introdujeron las relaciones cuantitativas entre los bienes. Estas derivan, por un lado, de la necesidad de incorporar al proceso productivo los objetos de trabajo (elementos materiales) y, por otro, del uso de diversos medios de trabajo (herramientas).
Ahora, unificamos ambos planteamientos en un solo sistema de relaciones cuantitativas, las cuales vienen determinadas por la necesidad de emplear medios de producción en los distintos procesos de creación de los bienes.
Utilizando los coeficientes de participación $n_{ij}$ de los medios de producción en la producción de bienes, obtenemos finalmente:
$\forall j \epsilon P \left ( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right )\qquad(11)$.
La suma de la derecha representa las necesidades de intervención del medio de producción $j$ (cuyo volumen es el término de la izquierda) expresadas mediante sus respectivos coeficientes de participación en la producción de bienes. Estos coeficientes representan las partes materiales con las que un objeto de trabajo se incorpora directamente a los bienes o, por el contrario, si se trata de un medio de trabajo, constituyen el equivalente a su desgaste físico durante el uso.
Estas porciones de los medios de producción desaparecen y se reencarnan en los nuevos bienes, los cuales, a su vez, se subdividen en dos grandes conjuntos: medios de producción y medios de consumo.
De esta manera, los volúmenes de los medios de producción están presentes en ambos lados de las ecuaciones; de hecho, la intención de conocerlos es precisamente lo que nos ha llevado a buscar las premisas para plantear el sistema. Son, al mismo tiempo, ingredientes y resultados de los procesos productivos. El sistema, si es matemáticamente resoluble, nos daría la magnitud de dichos volúmenes a partir de sus relaciones, que en este caso son bidireccionales.
Por otro lado, este sistema de ecuaciones no puede ofrecernos una solución para los volúmenes de producción de los medios de consumo, puesto que estos no participan en el proceso como ingredientes, sino que son solo su resultado. Entran en una relación unidireccional; son un componente pasivo.
Los volúmenes de los medios de consumo están presentes aquí solo para ayudar a establecer las necesidades cuantitativas de los medios de producción, es decir, los volúmenes en los que estos últimos han de operar para garantizar la producción de todos los bienes.
Los volúmenes de los medios de consumo, por lo tanto, deben determinarse de otra manera.
Desde un punto de vista matemático abstracto, estamos ante un sistema lineal de $p$ ecuaciones con $g$ incógnitas. Dado que el número de incógnitas (los volúmenes de producción de todos los bienes) es mayor que el número de ecuaciones (el cual es igual al número de medios de producción), el sistema —en caso de ser compatible— tendrá un número infinito de soluciones.
En este sistema, existen $c = g-p$ variables libres (grados de libertad) que pueden tomar cualquier valor.
Para expresar el sistema en forma matricial, introducimos el vector de los volúmenes de producción de todos los bienes durante un período dado:
$\pmb{v}=[v_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{v}_p\\\pmb{v}_c\end{bmatrix}$.
Este vector está formado por dos partes. La superior, constituida por $p$ elementos, es el vector de los volúmenes de producción de los medios de producción:
$\pmb{v}_p=[v_i]_{i \le p}$.
La parte inferior contiene los $c$ elementos de los volúmenes de producción de los medios de consumo, los cuales forman su correspondiente vector:
$\pmb{v}_c=[v_i]_{p+1 \le i \le p+c}$.
El sistema de ecuaciones $(11)$, con ayuda de los últimos vectores y de las matrices de los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de los medios de producción ($\mathbf{N}_p$) y de los medios de consumo ($\mathbf{N}_c$) introducidas anteriormente, se expresa de la siguiente manera:
$\pmb{v}_p=\mathbf{N}_p^T \pmb{v}_p+\mathbf{N}_c^T \pmb{v}_c$.
Agrupando los términos con el vector $\pmb{v}_p$ en un solo lado, obtenemos:
$\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p^T\right)\pmb{v}_p=\mathbf{N}_c^T \pmb{v}_c$.
Despejando el vector $\pmb{v}_p$, finalmente obtenemos:
$\pmb{v}_p=\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p^T\right)^{-1}\mathbf{N}_c^T \pmb{v}_c\qquad(12)$.
A continuación, se realizan algunas transformaciones sobre la matriz $\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p^T\right)^{-1}$:
Aplicando la propiedad de que la transpuesta de una resta es la resta de las transpuestas (y dado que la matriz identidad es igual a su transpuesta, $\mathbf{I} = \mathbf{I}^T$), dicha matriz se puede reescribir así:
$\left(\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^T\right)^{-1}$.
Ahora, aplicando la propiedad de que la inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa, se obtiene:
$\left(\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^{-1}\right)^T$.
Esta última expresión corresponde a la transpuesta de la matriz estructural de la producción de medios de producción, la cual denotamos como $\mathbf{S}_p^T$. Con ella, la ecuación $(12)$ se representa ahora de la siguiente manera:
$\pmb{v}_p=\mathbf{S}_p^T \mathbf{N}_c^T \pmb{v}_c\qquad(12a)$.
Por último, aplicando la propiedad de que el producto de las transpuestas de dos matrices es igual a la transpuesta del producto de dichas matrices en orden inverso, se obtiene:
$\pmb{v}_p=\left(\mathbf{N}_c\mathbf{S}_p\right)^T\pmb{v}_c\qquad(12b)$.
La matriz que multiplica al vector de los volúmenes de producción de los bienes de consumo es la transpuesta de la matriz estructural de la producción de dichos bienes:
$\pmb{v}_p=\mathbf{S}_c^T \pmb{v}_c\qquad(12c)$.
Esta solución demuestra la relación intrínseca entre los volúmenes de producción de los medios de consumo y los de los medios de producción. Unos volúmenes determinados de producción en el conjunto de bienes de consumo dictan, a su vez, los volúmenes necesarios de medios de producción que deben incorporarse al proceso productivo para alcanzar dichos objetivos.
Sin embargo, el modelo no se limita a darnos una visión global sobre estos dos grandes sectores; también muestra las relaciones intrínsecas entre todos los bienes, es decir, las proporciones cuantitativas en las que estos deben manifestarse dentro del entramado productivo para garantizar la estabilidad del sistema alrededor de un punto de equilibrio. Es la expresión matemática de esa «mano invisible» a la que se refieren los economistas al observar los procesos autorregulatorios de la economía.
En el sistema de ecuaciones $(11)$, los volúmenes correspondientes a los bienes de consumo actúan como las variables libres que, en teoría, podrían adoptar cualquier magnitud. Dado un valor determinado para estos, se vuelve necesario establecer —mediante la resolución del sistema— la magnitud de las demás variables; esto es, los volúmenes de los medios de producción.
Los volúmenes de bienes de consumo se han tomado aquí como las variables libres siguiendo el hilo de la investigación, el cual nos condujo a ello de forma natural.
No obstante, desde una perspectiva estrictamente matemática, cualquiera de las $g$ variables del sistema podría elegirse para formar el grupo de variables libres, partiendo de magnitudes conocidas para estas y calculando el resto mediante la resolución del sistema.
Este fenómeno contribuye a la relatividad de la visión económica a la hora de identificar sus objetivos como proceso de producción de bienes.
Desde el punto de vista de una producción orientada a la satisfacción de las necesidades directas de los individuos, son precisamente los volúmenes de producción de los medios de consumo los que tiene más sentido considerar como las variables libres del sistema económico.
Esto constituiría, además, la base de cualquier planificación que aspire a alcanzar dicho objetivo.
Más adelante profundizaremos en la elección de la base de planificación, ya que esta se encuentra íntimamente ligada a la selección de las variables libres del sistema en el sentido algebraico del término.
Teóricamente, la producción de medios de consumo puede ser infinitamente grande, siempre que se respete la relación dada.
En la práctica, esto no es posible debido a los límites que impone la realidad material.
Estas restricciones son de distinta índole: una de las más cruciales es la disponibilidad limitada de la fuerza de trabajo.
Asimismo, cabe destacar que los recursos naturales se encuentran en cantidades finitas y que los propios procesos tecnológicos imponen ritmos de desarrollo temporal que no se pueden acelerar ilimitadamente.
05 Volumen de producción homogeneizado
Los volúmenes de producción de los distintos bienes presentados hasta ahora están expresados en unidades de medida específicas para cada uno. Al ser magnitudes diferentes, no se pueden sumar entre sí. Para poder consolidar y calcular el volumen total producido, es necesario expresarlos en una misma unidad; en este caso, mediante la cantidad de tiempo invertida en su producción.
Para ello, el volumen de producción de cada bien se multiplica por el número total de horas necesarias para fabricar una unidad del mismo.
De este modo, se obtiene para cada bien $i$ su correspondiente volumen de producción expresado en horas:
$\omega_i=v_i\tau_i$.
Estas magnitudes constituyen los elementos del vector de volúmenes de producción expresados en horas (valor) para un período determinado:
$\pmb{\omega}=[\omega_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{\omega}_p\\\pmb{\omega}_c\end{bmatrix}$.
Este vector está compuesto por dos subvectores. Sus primeros $p$ elementos constituyen el vector de volúmenes de producción de los medios de producción, expresados en horas (valor):
$\pmb{\omega}_p=[\omega_i]_{i \le p}$.
Por su parte, los últimos $c$ elementos corresponden a los volúmenes de producción de los medios de consumo, expresados igualmente en horas (valor), los cuales forman el vector:
$\pmb{\omega}_c=[\omega_i]_{p+1 \le i \le p+c}$.
Los elementos del vector $\pmb{\omega}_p$, correspondientes a los $p$ medios de producción, se obtienen mediante la multiplicación componente a componente de los volúmenes de producción del período considerado por los respectivos tiempos totales (valor en horas) de cada unidad específica. Es decir:
$\pmb{\omega}_p=\pmb{v}_p\odot \pmb{\tau}_p\qquad(13)$.
El símbolo $\odot$ denota la multiplicación elemento a elemento de dos vectores de igual dimensión $p$ (producto de Hadamard).
El valor total del volumen de producción de medios de producción en el período estudiado es la suma de todos los elementos del vector $\pmb{\omega}_p$:
$\Omega_p=\pmb{1}^T\pmb{\omega}_p=\pmb{1}^T(\pmb{v}_p\odot \pmb{\tau}_p)$.
Finalmente, por la propiedad de la identidad de Hadamard, tenemos:
$\Omega_p=\pmb{v}_p^T \pmb{\tau}_p\qquad(14)$.
De forma análoga, para los medios de consumo se tiene:
$\pmb{\omega}_c=\pmb{v}_c\odot \pmb{\tau}_c\qquad(15)$
El correspondiente volumen total del período es:
$\Omega_c=\pmb{1}^T\pmb{\omega}_c=\pmb{1}^T(\pmb{v}_c\odot \pmb{\tau}_c)=\pmb{v}_c^T \pmb{\tau}_c\qquad(16)$.
El volumen de producción de todos los bienes es la suma del volumen de producción de los medios de producción ($\Omega_p$) y de los medios de consumo ($\Omega_c$):
$\Omega=\pmb{1}^T\pmb{\omega}=\Omega_p+\Omega_c=\pmb{v}_p^T \pmb{\tau}_p+\pmb{v}_c^T \pmb{\tau}_c$.
Sustituyendo en la fórmula anterior los vectores de valor de los bienes según sus respectivas fórmulas $\pmb{\tau}_p=\mathbf{S}_p\pmb{t}_p$ para los valores de los medios de producción y $\pmb{\tau}_c=\pmb{t}_c+\mathbf{S}_c\pmb{t}_p$ para los valores de los medios de consumo, obtenemos:
$\Omega=\pmb{v}_p^T(\mathbf{S}_p\pmb{t}_p)+\pmb{v}_c^T(\pmb{t}_c+\mathbf{S}_c\pmb{t}_p)$.
También podemos sustituir los volúmenes de producción de los medios de producción en sus respectivas unidades teniendo en cuanta su dependencia de los volúmenes de producción de los medios de consumo, expresados en la fórmula $\pmb{v}_p=\mathbf{S}_c^T\pmb{v}_c$ teniendo en cuenta que en la fórmula de $\Omega$ se presenta traspuesta ($\pmb{v}_p^T=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c$), es decir:
$\Omega=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c\mathbf{S}_p\pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T(\pmb{t}_c+\mathbf{S}_c\pmb{t}_p)$.
Ahora, dado que el vector fila $\pmb{v}_c^T$ multiplica por la izquierda a ambos términos de la suma, podemos extraerlo como factor común:
$\Omega = \pmb{v}_c^T (\mathbf{S}_c\mathbf{S}_p\pmb{t}_p+(\pmb{t}_c + \mathbf{S}_c\pmb{t}_p))$.
Eliminando los paréntesis internos sumatorios, la expresión queda:
$\Omega = \pmb{v}_c^T(\mathbf{S}_c\mathbf{S}_p\pmb{t}_p + \pmb{t}_c + \mathbf{S}_c\pmb{t}_p)$.
Ahora nos enfocamos en los componentes temporales. Reordenamos los sumandos para agrupar aquellos que contienen el vector de tiempos presentes de los medios de producción ($\pmb{t}_p$):
$\Omega = \pmb{v}_c^T(\mathbf{S}_c\mathbf{S}_p\pmb{t}_p + \mathbf{S}_c\pmb{t}_p+\pmb{t}_c)$.
Factorizamos $\pmb{t}_p$ por la derecha en los dos primeros términos:
$\Omega = \pmb{v}_c^T((\mathbf{S}_c\mathbf{S}_p+\mathbf{S}_c)\pmb{t}_p+\pmb{t}_c)$.
Por último, factorizamos la matriz $\mathbf{S}_c$ a la izquierda dentro del paréntesis interior:
$\Omega = \pmb{v}_c^T \mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})\pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T\pmb{t}_c$.
06 Partes del volumen de producción homogeneizado
Los volúmenes presentados en el apartado anterior se expresaron en los tiempos totales de cada bien del sistema. Como ya se mencionó, esta producción social global (conjunto $G$) se divide en dos grandes sectores: la producción de medios de producción (conjunto $P$) y la de medios de consumo (conjunto $C$).
En adelante, diferenciaremos en dichos volúmenes la fracción correspondiente al valor constante de aquella que representa el valor añadido por el trabajo vivo en el período considerado.
Desde esta perspectiva, el tiempo total de trabajo cristalizado en cada bien se compone de dos partes:
- Valor constante: Corresponde al valor que se traspasa desde los medios de producción a medida que estos se desgastan o consumen en el proceso productivo. Aunque la forma material que contiene dicho valor cambia —al consumirse los objetos de trabajo y desgastarse los medios de trabajo para reaparecer en los nuevos bienes—, su magnitud permanece inalterada. Al limitarse a transferirse de unos bienes a otros, constituye una componente de valor constante dentro del valor social global.
- Valor añadido: Corresponde al valor incorporado directamente por el trabajo vivo al actuar sobre los objetos de trabajo mediante los correspondientes medios de trabajo.
Inicialmente, se supone que los medios de producción se utilizan de forma eficiente y que la totalidad de su valor se transfiere a los bienes producidos. No obstante, en la práctica ocurren acontecimientos de carácter fortuito que desvían el comportamiento efectivo del sistema de este modelo ideal. Un sistema productivo eficientemente organizado debe prever la naturaleza probabilística de tales pérdidas y constituir reservas adecuadas para afrontar dichas contingencias.
Volumen de valor constante
La magnitud de valor constante contenida en los distintos volúmenes de producción de los bienes durante un período determinado, que designamos por $c_i$, constituye los elementos del siguiente vector:
$\pmb{c} = [c_i]_{i \le g} = \begin{bmatrix} \pmb{c} _p \\ \pmb{c} _c \end{bmatrix}$.
Este vector está compuesto por dos subvectores. Sus primeros $p$ elementos constituyen el vector de valores constantes correspondientes a la producción de medios de producción:
$\pmb{c}_p = [c_i]_{i \le p}$.
Por su parte, los últimos $c$ elementos corresponden a los valores constantes de la producción de medios de consumo, los cuales forman el vector:
$\pmb{c}_c = [c_i]_{p+1 \le i \le p+c}$.
Para un medio de producción determinado, el valor constante (expresado en horas de trabajo) contenido en el volumen total de su producción durante un período dado se obtiene multiplicando dicho volumen por la cantidad de tiempo pretérito transferida por los medios de producción que intervienen en su creación.
Esta última magnitud viene dada por el producto de la fila correspondiente de la matriz $\mathbf{N}_p$ (que contiene los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de medios de producción) por el vector $\pmb{\tau}_p$
Generalizando para el conjunto de todos los medios de producción, el vector de valores constantes $\pmb{c}_p$ se obtiene mediante el producto de Hadamard:
$\pmb{c}_p = \pmb{v}_p \odot (\mathbf{N}_p \pmb{\tau}_p) \qquad (17)$.
Todos los elementos de este vector están expresados en horas de trabajo y, por lo tanto, pueden sumarse.
Si denotamos como $C_p$ la parte constante del volumen total de producción de medios de producción, obtenemos:
$C_p =\pmb{1}^T\pmb{c}_p =\pmb{1}^T (\pmb{v}_p \odot \mathbf{N}_p \pmb{\tau}_p)=\pmb{v}_p^T \mathbf{N}_p \pmb{\tau}_p \quad (18)$.
Sustituyendo en la fórmula anterior $ \pmb{\tau}_p=\mathbf{S}_p \pmb{t}_p$:
$C_p =\pmb{v}_p^T \mathbf{N}_p\mathbf{S}_p \pmb{t}_p\qquad (18a)$.
De manera análoga, el valor constante contenido en el volumen total de producción de un medio de consumo concreto se obtiene multiplicando dicho volumen por el tiempo pretérito transferido en su creación. Esta magnitud se calcula mediante el producto de la fila correspondiente de la matriz $\mathbf{N}_c$ —que contiene los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de bienes del consumo— por el vector $\pmb{\tau}_p$ de los tiempos totales.
Extendiendo este cálculo al conjunto de todos los medios de consumo, el vector resultante $\pmb{c}_c$ viene dado por:
$\pmb{c}_c = \pmb{v}_c \odot \mathbf{N}_c \pmb{\tau}_p \quad (19)$
En consecuencia, la parte constante del volumen total de producción de medios de consumo ($C_c$) viene dada por la suma de sus componentes:
$C_c = \pmb{1}^T\pmb{c}_c =\pmb{1}^T(\pmb{v}_c \odot \mathbf{N}_c \pmb{\tau}_p) = \pmb{v}_c^T \mathbf{N}_c \pmb{\tau}_p \quad (20)$.
En la fórmula anterior, $C_c$, es la suma total de todos los elementos del vector $\pmb{c}_c$.
Tal como hicimos para los medios de producción, ahora también sustituimos $\pmb{\tau}_p$ en la última fórmula:
$C_c = \pmb{v}_c^T \mathbf{N}_c \mathbf{S}_p \pmb{t}_p=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \pmb{t}_p\quad (20a)$
El valor constante del volumen de producción en el período de todos los bienes del conjunto $ G$ es la suma de los valores constantes de los medios de producción y de los medios de consumo producidos:
$C=C_p+C_c\qquad(21)$.
Al referirnos a todos los bienes dejamos de utilizar el subíndice para las magnitudes agregadas.
Sustituyendo $C_p$ y $C_c$ en $(21)$ según las expresiones $(18a)$ y $(20a)$, respectivamente, se obtiene:
$C=\pmb{v}_p^T \mathbf{N}_p\mathbf{S}_p \pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \pmb{t}_p\qquad(21a)$.
Factorizando el vector columna $\pmb{t}_p$ por la derecha:
$C=\left(\pmb{v}_p^T \mathbf{N}_p\mathbf{S}_p +\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \right)\pmb{t}_p$.
Al sustituir en esta ecuación la identidad $\pmb{v}_p^T=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c $, resulta:
$C=\left(\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p +\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \right)\pmb{t}_p$.
Finalmente, si extraemos el vector fila $(\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c)$ como factor común por la izquierda, llegamos a:
$C=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c\left(\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p +\mathbf{I}\right)\pmb{t}_p\qquad(21b)$.
Nota sobre una formulación alternativa mediante el vector de valores transferidos
Conviene dejar apuntado aquí que las magnitudes de valor constante admiten una representación matemática más compacta si se recurre al vector de valores transferidos por unidad de bien, $\pmb{\delta}$. Como se recordará de la parte dedicada al valor de los bienes, este vector auxiliar se define como la diferencia entre el tiempo total de trabajo y el trabajo vivo directamente incorporado:
$\pmb{\delta}=[\delta_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{\delta}_p\\\pmb{\delta}_c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb{\tau}_p-\pmb{t}_p\\\pmb{\tau}_c-\pmb{t}_c\end{bmatrix}$.
Dado que el valor transferido por unidad de bien coincide analíticamente con el desgaste y consumo de medios de producción requerido para su creación (es decir, $\pmb{\delta}_p = \mathbf{N}_p \pmb{\tau}_p$ y $\pmb{\delta}_c = \mathbf{N}_c \pmb{\tau}_p$), las fórmulas de la $(17)$ a la $(20)$ pueden expresarse también de forma directa en función de esta magnitud:
$\pmb{c}_p=\pmb{v}_p\odot\pmb{\delta}_p\qquad(17a)$
$C_p=\pmb{v}_p^T\pmb{\delta}_p\qquad(18b)$
$\pmb{c}_c=\pmb{v}_c\odot\pmb{\delta}_c\qquad(19a)$
$C_c=\pmb{v}_c^T\pmb{\delta}_c\qquad(20b)$
Volumen de valor añadido
La segunda parte del tiempo de trabajo contenido en los volúmenes de producción de un período dado corresponde al valor añadido mediante el trabajo vivo (o presente) de los individuos.
Esta magnitud de valor añadido, contenida en los distintos volúmenes producidos en un período de tiempo dado de producción de los bienes, las unimos en el siguiente vector:
$\pmb{a}=[a_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{a}_p\\\pmb{a}_c\end{bmatrix}$.
Este vector está compuesto por dos subvectores.
Sus primeros $p$ elementos constituyen el vector de los valores añadidos de la producción de los medios de producción:
$\pmb{a}_p=[a_i]_{i \le p}$.
Por su parte, los últimos $c$ elementos corresponden a los valores añadidos de la producción de medios de consumo, los cuales forman el vector:
$ \pmb{a}_c=[a_i]_{p+1 \le i \le p+c}$.
Los elementos del vector $\pmb{a}_p$, correspondientes a los $p$ medios de producción, se definen por la multiplicación elemento a elemento de los volúmenes de producción en el período dado de los medios de producción por los correspondientes tiempos presentes del mismo medio de producción, es decir:
$\pmb{a}_p=\pmb{v}_p\odot \pmb{t}_p\qquad(22)$.
El valor añadido total ,$A_p$, contenido en el volumen de producción de los medios de producción durante el período estudiado es:
$A_p=\pmb{1}^T\pmb{a}_p=\pmb{1}^T(\pmb{v}_p\odot \pmb{t}_p)=\pmb{v}_p^T \pmb{t}_p\qquad(23)$.
De manera análoga, para el sector de los medios de consumo, el vector $\pmb{a}_c$ se determina mediante la multiplicación elemento a elemento de los volúmenes de producción por los tiempos presentes de dichos bienes:
$\pmb{a}_c=\pmb{v}_c\odot \pmb{t}_c\qquad(24)$.
En consecuencia, el valor añadido total de este sector en el período ($A_c$) viene dado por la suma de sus componentes:
$A_c=\pmb{1}^T\pmb{a}_c=\pmb{1}^T(\pmb{v}_c\odot \pmb{t}_c)=\pmb{v}_c^T \pmb{t}_c\qquad(25)$.
El valor añadido del volumen de producción en el período de todos los bienes del conjunto $G$ es la suma de los valores añadidos de los medios de producción y de los medios de consumo producidos:
$A=A_p+A_c\qquad(26)$.
Ahora, sustituyendo $A_p$ y $A_c$ en $(26)$ según las expresiones $(23)$ y $(25)$, respectivamente, se obtiene:
$A=\pmb{v}_p^T \pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T \pmb{t}_c\qquad(26a)$.
Teniendo en cuenta que:
$\pmb{v}=\begin{bmatrix}\pmb{v}_p\\\pmb{v}_c\end{bmatrix}$
y
$\pmb{t}=\begin{bmatrix}\pmb{t}_p\\\pmb{t}_c\end{bmatrix}$
obtenemos finalmente:
$A=\pmb{v}^T \pmb{t}\qquad(26b)$.
Volúmenes globales de producción social
Los volúmenes globales de producción de ambos sectores ($\Omega_p$ para los medios de producción y $ \Omega_c$ para los medios de consumo), expresados en tiempo de trabajo, son la suma de las respectivas partes de valor constante y valor añadido:
$\Omega_p=C_p + A_p\qquad(27)$,
y
$\Omega_c=C_c + A_c\qquad(28)$.
El volumen global de producción de todos los bienes del conjunto $G$, que incluye tanto los medios de producción como los medios de consumo, es la suma de $\Omega_p$ y $\Omega_c$:
$\Omega=\Omega_p + \Omega_c\qquad(29)$.
Sustituyendo en $(29)$ según $(27)$ y $(28)$:
$\Omega=C_p + A_p+C_c + A_c\qquad(29a)$.
Finalmente, reagrupando los términos en valores constantes y valores añadidos, y con ayuda de $(21)$ y $(25)$:
$\Omega=C+A\qquad(29b)$.
07 Balance entre los dos grandes sectores de la economía
Vamos a ver ahora la relación existente entre las distintas partes indicadas de los volúmenes de producción.
$\Omega_c$ engloba todo el volumen de producción de medios de consumo en el período de referencia, expresado en valor-trabajo.
En el supuesto que hemos mantenido hasta ahora —el de encontrarnos ante un sistema de reproducción simple— no se observa un incremento de la riqueza por acumulación.
Esto significa que, a medida que se producía el volumen $\Omega_c$ de medios de consumo, una cantidad idéntica de los mismos (correspondiente a la producción del período anterior) era consumida en el proceso de consumo de la sociedad.
Una vez finalizado dicho período de referencia, el valor expresado en medios de consumo no se ha incrementado, sino que se ha mantenido idéntico.
Hasta este punto, no hemos estudiado ningún mecanismo de distribución de los bienes. Por este mecanismo entendemos el proceso mediante el cual los miembros de la sociedad se convierten en consumidores de dichos bienes. De momento, no entraremos en detalles sobre cómo se realiza este proceso para cada individuo. Nos limitamos a suponer —como etapa inicial en la aproximación a este importantísimo aspecto— que todos los individuos participan por igual en el proceso de posesión, repartiéndose el monto total producido en partes iguales.
Otro marco importante del estudio en su fase inicial se establece con respecto a la participación de los individuos en el proceso de producción de bienes. Este consiste en suponer que dicha participación —aportando esfuerzo al proceso productivo en calidad de trabajo— es exactamente la misma para todos los individuos de la sociedad estudiada.
Por posesión de los bienes se define el proceso mediante el cual los individuos hacen efectivo su consumo para satisfacer necesidades de cualquier índole.
Para los bienes, el hecho de entrar en el proceso de consumo significa adentrarse en un estado de desgaste, deterioro o, directamente, su desaparición.
Las peculiaridades de los procesos de distribución y posesión de los bienes serán estudiadas más adelante.
Balance intersectorial
Analicemos más de cerca las partes constituyentes de $\Omega_c$.
Como hemos visto en el apartado anterior, el valor total de los bienes de consumo está formado por dos magnitudes agregadas:
- Por un lado, tenemos el valor total transferido a los bienes de consumo mediante el uso y desgaste de los medios de producción. Este valor, al ser simplemente transferido, no cambia su magnitud, manteniéndose constante. Por ello, se denomina valor constante de los medios de producción y lo denotamos como $C_c$.
- Por otro lado, está la parte que constituye el valor añadido mediante el trabajo vivo directo, el cual transforma los objetos de trabajo mediante el uso de los medios de producción para crear los nuevos medios de consumo. Mediante este proceso, la fuerza de trabajo involucrada añade valor a los bienes. Por ello, esta parte del valor total de los medios de consumo se conoce como valor añadido y la denotamos como $A_c$.
No olvidemos que estas magnitudes constituyen una esencia contenida en los bienes que les otorga un carácter homogéneo, a diferencia de su forma física, la cual, por el contrario, los distingue como bienes de consumo. Por lo tanto, no se trata de que ciertos bienes de consumo contengan sólo valor añadido y otros valor constante para así disgregarse en las dos magnitudes mencionadas. Cada bien contiene tanto de uno como de otro valor, y es la suma de estas partes individuales de cada bien la que forma los componentes agregados del volumen de producción de bienes de consumo en el período estudiado, expresados en valor-trabajo.
En su forma física, todos estos bienes están destinados a desaparecer en el proceso de consumo durante el mismo período, de acuerdo con el modelo de reproducción simple.
Los trabajadores del sector de la producción de bienes de consumo aportan $A_c = \pmb{v}_c^T \pmb{t}_c$ horas de trabajo a la producción de dichos bienes, expresados en los volúmenes físicos que componen el vector $\pmb{v}_c$.
Bajo el supuesto inicial de que todos los miembros de la sociedad son trabajadores con igual participación en los procesos de producción, por un lado, y que poseen en partes iguales los resultados de dicha producción, por otro, se deduce que el consumo de estos individuos en el período de referencia es exactamente igual al valor añadido por ellos mismos y contenido en los bienes de consumo.
Por lo tanto, son los propios trabajadores empleados en este sector quienes absorben y consumen los bienes que representan la cantidad de valor $A_c$. Así, vemos cómo el monto de bienes cuyo valor total corresponde a este componente de $\Omega_c$ desaparece tanto en su forma física como en su esencia de valor.
La cantidad de bienes que corresponde al segundo componente, $C_c$, también se presenta en forma de bienes de consumo y está, asimismo, destinada a desaparecer (todos los bienes de consumo creados en el período de referencia corren la misma suerte). Ahora bien, como sabemos, al consumirse los bienes desaparece también su valor, lo que aparentemente entra en contradicción con el hecho de que este grupo representa un valor constante que, por definición, ha de mantenerse invariable.
Si recordamos que el valor constante equivale al valor transferido por los medios de producción a los nuevos bienes producidos, también podríamos pensar que toda la maquinaria de producción de bienes de consumo ha visto mermado su valor total en $C_c$ a causa de la absorción de dichos bienes.
Lo que ocurre es que cierta cantidad de medios de producción, cuyo valor corresponde exactamente con el valor constante que ahora hemos perdido, ha de reponerse desde el sector de producción de medios de producción. En breve, dicha correspondencia quedará demostrada.
Los trabajadores empleados en el sector de producción de bienes de consumo ya han cubierto sus necesidades, como se mencionó anteriormente, lo que libera el monto de bienes con valor $C_c$ para su intercambio con el sector dedicado a la producción de medios de producción, en plena correspondencia con lo planteado en el párrafo precedente.
Fijemos ahora nuestra atención en el valor global de los medios de producción, $\Omega_p$, del cual proviene la fracción requerida por el sector de producción de bienes de consumo.
Como ya vimos, el valor total agregado de la producción de medios de producción en un período dado de referencia también consta de dos partes:
- Por un lado, tenemos el valor transferido por los propios medios de producción debido al desgaste derivado de su uso en este mismo sector. Esta parte del valor es, por tanto, constante y la denotamos como $C_p$.
- Por otro lado, está el valor que añaden los trabajadores del sector de medios de producción mediante el uso de su fuerza de trabajo, componente que corresponde al valor añadido y que denotamos como $A_p$.
Al igual que ocurría con los bienes de consumo, estos bienes contienen la esencia del valor-trabajo que nos permite concebirlos como una sustancia homogénea. Ahora bien, todos estos bienes se presentan en una forma física que les permite funcionar como medios de producción y, según nuestras premisas hasta aquí, no pueden satisfacer directamente las necesidades de consumo de los individuos.
Como medios de producción, se presentan en la forma idónea para suplir el desgaste soportado por toda la maquinaria empleada en dicho sector, el cual es igual al valor transferido a los nuevos medios de producción creados, $C_p$. Por lo tanto, el volumen equivalente a esta cantidad se destina a reponer dicho desgaste en forma de consumo interno del sector de producción de medios de producción.
Además, como bajo el supuesto de reproducción simple el valor de los medios de producción no se expande, sólo esta magnitud, en su esencia de valor constante, se mantiene en este sector y es transferida para incorporarse al proceso de producción como medios de producción.
En consecuencia, la fracción restante del valor de la producción de este sector, equivalente al valor añadido $A_p$, constituye un remanente cuyo destino es el otro sector de la producción de bienes (de otra forma no podría funcionar) y es así como se transfiere al sector de producción de bienes de consumo para reponer el desgaste de su maquinaria productiva. Así, $A_p$ se intercambia por el remanente de los bienes de consumo (es decir, aquellos bienes de consumo con un valor equivalente a $C_c$).
Es importante señalar, además, que estos bienes provenientes del sector de producción de bienes de consumo se presentan en la forma material idónea para ser consumidos por los trabajadores del sector de producción de medios de producción. Así, su valor añadido se intercambia por dichos bienes de consumo y se destruye en el proceso, tal como lo exigen las premisas del sistema.
Así pues, se tiene que en un sistema de reproducción simple ha de cumplirse la condición:
$A_p=C_c\qquad(30)$.
Lo anterior es una deducción lógica con base en los planteamientos anteriores sobre la reposición de los medios de producción en ambos sectores y la desaparición en el consumo de toda la sociedad del nuevo valor añadido en un proceso de reproducción simple.
Esta igualdad, además de ser una deducción lógica, es —como veremos a continuación— un resultado analíticamente directo que se desprende de todo el desarrollo presentado hasta aquí.
Sustituyendo $A_p$ y $C_c$ con ayuda de $(23)$ y $(20a)$, respectivamente, tenemos:
$\pmb{v}_p^T \pmb{t}_p=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \pmb{t}_p$.
A continuación, sustituyendo en el miembro izquierdo la equivalencia $\pmb{v}_p^T=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c$, llegamos a la siguiente identidad matemática:
$\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c\pmb{t}_p=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c \pmb{t}_p$.
A pesar de su simplicidad formal desde el punto de vista del modelo matemático, esta igualdad encierra un profundo sentido económico, ya que expresa la interdependencia estructural de las producciones globales entre ambos sectores. Para poder reponer los medios de producción consumidos en el sector de bienes de consumo, el valor de dicha reposición ($C_c$) debe ser equivalente al nuevo valor creado por los trabajadores del sector de medios de producción ($A_p$). Estos últimos entregan dicha producción material a cambio de los bienes de consumo que ellos mismos no producen, pero que requieren para su subsistencia.
Los dos balances expuestos a continuación, como se verá, se derivan de forma trivial cuando se cumple la última identidad algebraica. Además de dicha deducción lógica, se mostrará su coherencia con las formulaciones del modelo presentadas hasta aquí, dándoles, además, una interpretación económica.
Balance entre el valor añadido y los bienes de consumo (equilibrio externo)
Hemos observado cómo la producción de bienes de consumo en un período de tiempo de referencia queda expresada en un volumen de valor-trabajo $\Omega_c$, el cual está constituido por dos magnitudes agregadas: $C_c$, por un lado, y $A_c$, por el otro.
Como se vio, la parte constante $C_c$ del valor de los bienes de consumo producidos es igual a la fracción del valor añadido en el otro sector de la economía, correspondiente a la producción de medios de producción, $A_p$.
De aquí se deduce que todo el valor añadido en ambos sectores, $A=A_p+A_c$, tiene que ser igual al valor total de todos los bienes de consumo producidos en el período:
$\Omega_c=C_c+A_c=A_p+A_c=A$.
Demostremos analíticamente la validez de esta deducción lógica.
Para ello, sustituimos en $(30)$ las expresiones de $A_p$ dadas por $(23)$ y de $C_c$ dadas por $(20b)$:
$\pmb{v}_p^T \pmb{t_p}=\pmb{v}_c^T\pmb{\delta}_c=\pmb{v}_c^T \left(\pmb{\tau_c}-\pmb{t_c}\right)=\pmb{v}_c^T\pmb{\tau_c}-\pmb{v}_c^T\pmb{t_c}$.
Agrupando los términos que contienen los tiempos de trabajo presentes, se obtiene:
$\pmb{v}_p^T \pmb{t_p}+\pmb{v}_c^T\pmb{t_c} =\pmb{v}_c^T\pmb{\tau_c}$.
El primer término por la izquierda representa el valor añadido a los medios de producción, $A_p = \pmb{v}_p^T \pmb{t}_p$. Asimismo, el segundo corresponde al valor añadido a los bienes de consumo, $A_c = \pmb{v}_c^T \pmb{t}_c$. Por otra parte, según $(14)$, el término de la derecha equivale al valor total de los bienes de consumo creados en el período, $\Omega_c = \pmb{v}_c^T \pmb{\tau}_c$. Es decir, la fórmula anterior expresa la equivalencia con la igualdad buscada:
$\Omega_c=A_p+A_c=A\qquad(32)$.
El valor añadido a todos los bienes producidos en el período puede representarse como sigue:
$A=A_p+A_c=\pmb{v}_p^T \pmb{t_p}+\pmb{v}_c^T\pmb{t_c}=\pmb{v}^T \pmb{t}$
De este modo, la expresión $(32)$ se puede reformular como:
$\Omega_c=\pmb{v}^T \pmb{t}\qquad(32a)$.
La fórmula $(32a)$ posee un profundo y sencillo sentido económico: todo el tiempo invertido en la creación de bienes por el conjunto de los individuos, independientemente del sector en el que laboren, equivale, en un sistema de reproducción simple, al valor (o cantidad de trabajo) plasmado en el volumen total de los bienes de consumo producidos en el período.
Si se transponen los términos en $(32)$, se obtiene finalmente:
$A=\Omega_c\qquad(32c)$.
Su interpretación es que, en un sistema económico de reproducción simple, el valor añadido contenido en la totalidad de los bienes producidos durante un período determinado es igual al valor total de los bienes de consumo producidos (y consumidos) en ese mismo lapso.
La igualdad $(32c)$ refleja el equilibrio externo del sistema.
Dado que su estado no cambia de un ciclo a otro, las magnitudes que ingresan al sistema (el trabajo aplicado a la producción expresado en su correspondiente valor) son iguales a los resultados obtenidos a la salida del mismo (el valor de los bienes de consumo que abandonan el proceso de producción para incorporarse al consumo).
Balance entre el valor transferido y los medios de producción (equilibrio interno)
De manera idéntica a como lo hicimos para los medios de consumo, seguimos el hilo para el valor de los medios de producción creados en un período de referencia, $\Omega_p=C_p+A_p$. Dado que $A_p=C_c$, obtenemos:
$\Omega_p=C_p+C_c$.
Así pues, ahora tenemos que el valor transferido en todo el proceso de producción de bienes durante un período de referencia, $C=C_p+C_c$, es igual al valor total de todos los medios de producción creados en el mismo lapso de tiempo.
Confirmaremos esta identidad analíticamente sobre la base de las relaciones del modelo planteado. Partimos de la fórmula $(12c)$ de la relación de cantidad entre los medios de producción necesarios y el nivel de consumo deseado, $\pmb{v}_p=\mathbf{S}_c^T\pmb{v}_c$, en su forma traspuesta:
$\pmb{v}_p^T=(\mathbf{S}_c^T\pmb{v}_c)^T=\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c$.
Sustituyendo la matriz estructural de producción de los bienes de consumo $\mathbf{S}_c=\mathbf{N}_c\mathbf{S}_p$, y a su vez en esta última expresión la matriz estructural de producción de los medios de producción por la inversa de $(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)$, tenemos:
$\pmb{v}_p^T=\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)^{-1}$.
Ahora, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por la derecha por el término $(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)$:
$\pmb{v}_p^T(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)=\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c$.
Al distribuir el producto en el lado izquierdo, la ecuación se desglosa en:
$\pmb{v}_p^T-\pmb{v}_p^T\mathbf{N}_p=\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c$.
Reordenando los términos para dejar el vector $\pmb{v}_p^T$ solo en el miembro izquierdo, obtenemos la ecuación:
$\pmb{v}_p^T=\pmb{v}_p^T\mathbf{N}_p+\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c$.
Para pasar de la relación de magnitudes unitarias de volúmenes de producción a las magnitudes agregadas, multiplicamos toda la ecuación por la derecha por el vector columna del valor de los medios de producción ($\pmb{\tau}_p$):
$\pmb{v}_p^T\pmb{\tau}_p=\left(\pmb{v}_p^T\mathbf{N}_p+\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c\right)\pmb{\tau}_p$.
Al distribuir $\pmb{\tau}_p$ en el lado derecho, la expresión queda:
$\pmb{v}_p^T\pmb{\tau}_p=\pmb{v}_p^T\mathbf{N}_p\pmb{\tau}_p+\pmb{v}_c^T\mathbf{N}_c\pmb{\tau}_p$.
Identificamos cada uno de los términos:
- Por la izquierda tenemos, según $(14)$, $\pmb{v}_p^T\pmb{\tau}_p=\Omega_p$.
- El primer término en la parte derecha es, según $(18)$, $\pmb{v}_p^T \mathbf{N}_p \pmb{\tau}_p=C_p$.
- Por último, el segundo término del lado derecho es, según $(20)$, $\pmb{v}_c^T \mathbf{N}_c \pmb{\tau}_p=C_c$.
Sustituyendo en al fórmula que analizamos, tenemos:
$\Omega_p=C_p+C_c=C\qquad(33)$.
Transponiendo los términos en $(33)$, obtenemos finalmente:
$C=\Omega_p\qquad(33a)$.
Así, tenemos que en un sistema económico de reproducción simple el valor transferido (equivalente al consumo productivo o desgaste) presente en todos los bienes producidos en un período determinado es igual al valor total de todos los medios de producción producidos en el mismo período de tiempo.
Esta última igualdad $(33a)$ es una expresión del equilibrio interno del sistema, una relación que es necesaria para el propio mantenimiento del sistema en estado estacionario. Es, precisamente, la garantía de la regeneración de sus partes que sufren el consumo productivo o desgaste en el proceso de producción. Este desgaste —igual al valor transferido a todos los bienes— es repuesto exactamente por el nuevo volumen de medios de producción generados, asegurando así la continuidad del ciclo económico.
Este volumen de medios de producción, creados en el período de referencia y destinados a reponer el desgaste sufrido por todo el conglomerado productivo, es de una magnitud de valor igual a la pérdida de valor que dicho desgaste ocasiona. Así, el valor de este conglomerado se mantiene constante.
08 Cantidad de trabajo
Nos adentramos ahora en un aspecto en el que se profundiza la separación entre los distintos puntos de vista respecto a los componentes del sistema económico; nos referimos al papel que se le otorga al bien de mayor relevancia: el trabajo. Este elemento está presente necesariamente en todo proceso de producción y, por lo tanto, queda estratificado en todo bien resultante de dicho proceso.
La fórmula $(32c)$ es un buen punto de partida para abordar este tema; conviene tenerla presente:
$A=\Omega_c$.
Por un lado, $A$ es el valor añadido a todos los bienes durante un período de referencia. Para que esto ocurra —o lo que es lo mismo, para que la economía sea productiva—, los individuos deben incorporarse a los procesos de producción, cristalizando su trabajo en el resultado de dichos procesos: los bienes. Sin el concurso de ese esfuerzo vivo, los medios de producción no se ponen en movimiento por sí solos y la producción se vuelve imposible.
Por otro lado, $\Omega_c$ representa el valor total de todos los medios de consumo. A primera vista, esta identidad puede parecer contradictoria, pues iguala una magnitud compuesta exclusivamente por trabajo presente ($A$) con otra ($\Omega_c$) que incorpora una mezcla de trabajo presente y trabajo pretérito (los medios de producción utilizados).
Pero ¿qué son los medios de consumo sino el objetivo primordial de la economía? ¿Y qué sentido tiene aplicar esfuerzo humano si no es para lograr el propósito final de obtener bienes de consumo que satisfagan necesidades de toda índole?
La respuesta a estas preguntas arroja claridad sobre dicha igualdad: los individuos aplican su trabajo con el único fin último de obtener medios de consumo. Los medios de producción no son más que un paso intermedio para lograr ese propósito. El trabajo pretérito cristalizado en los bienes de consumo nos indica precisamente eso: el resultado de este sector contiene no solo el esfuerzo de sus propios trabajadores, sino también el de los trabajadores del sector que produjo los medios de producción implicados. Como tal se valoran en su conjunto.
Así, tenemos que $A$ representa la cantidad de trabajo humano que es necesario invertir para lograr el objetivo final de la economía: la obtención de una masa determinada de bienes de consumo. Con respecto a los individuos trabajadores, $A$ constituye la suma de todo su esfuerzo en un período de referencia; es decir, es la expresión de todo el trabajo socialmente necesario para materializar los resultados de la producción en dichos bienes de consumo.
La igualdad aquí estudiada es la condición de sostenibilidad de un sistema económico de reproducción simple. El trabajo juega el papel de entrada al sistema, aportando la forma material o energética en un período de referencia. Los medios de consumo constituyen la salida que, aunque modificados por la dinámica de transformación del propio sistema, conservan la magnitud de la entrada, la cual cristaliza en forma de valor (o trabajo pretérito) en el cuerpo material de los bienes de consumo obtenidos en el mismo lapso.
Una característica importante de la magnitud agregada del valor añadido $A$, a diferencia de la magnitud homóloga del valor constante $C$, es que la primera se expresa directamente, desde el principio, en magnitudes homogéneas. Los valores constantes están representados por una multitud de cuerpos materiales distintos, que sirven de mediadores entre el trabajo pretérito en ellos contenido y su valor. Por el contrario, los valores añadidos ya son directamente valor; por lo tanto, poseen esa esencia que los hace equivalentes e intercambiables por cualquier otro bien.
Debido a esta característica, el valor añadido tiende a ser equivalente, en la visión superficial de la economía vulgar, a los salarios de los trabajadores. Sin embargo, el hilo conductor de nuestro estudio es más complejo, y debe llegar a dicha visión superficial recorriendo todos los vericuetos necesarios para desentrañar, en el camino, la importancia del trabajo —el esfuerzo individual de las personas en los procesos de producción— como la fuerza creadora de valor encarnado en todo lo que finalmente se nos presenta como riqueza de la sociedad.
Así pues, siendo el trabajo agregado en $A$ la acumulación de las aportaciones individuales, y si asumimos —como hasta aquí— que todos los individuos participan por igual en los procesos de producción mediante esfuerzos considerados equivalentes en cantidad, expresar estos valores añadidos en función de las horas aportadas es cuestión de simples operaciones algebraicas. Es decir, la participación homogénea de los trabajadores equivale a plantear que cada individuo aporta una porción determinada de su tiempo en los procesos de creación de bienes.
Del mismo modo, bajo el supuesto previo de una participación idéntica en la posesión de los bienes, a cada individuo le correspondería una parte proporcional del resultado de la producción. Dado que el agregado de este producto equivale al valor añadido total, dicha fracción coincidiría exactamente con su aportación de valor añadido. Se habría alcanzado, así, la justicia perfecta.
El propósito de este estudio es adentrarse, en capítulos posteriores, en los mecanismos reales de distribución a través de los cuales se fractura la mencionada justicia. La evidencia histórica del desarrollo de las civilizaciones revela una tendencia generalizada hacia la posesión desigual de los bienes. Con todo, el fundamento de dicha distribución debe asegurar, ante todo, la sostenibilidad social desde la perspectiva elemental de la supervivencia humana. En otros términos, independientemente de la participación de un individuo en los procesos de producción, su propia existencia impone un umbral mínimo de condiciones que garantizan su reproducción no solo como ser vivo, sino también en su condición de productor de bienes.
Hay que destacar que una distribución desigual no implica necesariamente la ruptura del modelo económico de reproducción simple. La base del mismo —es decir, la igualdad $A=\Omega_c$— puede mantenerse como una condición global del sistema, independientemente de cómo se distribuyan los bienes. Efectivamente, esta fórmula se refiere al proceso de producción y no está vinculada de forma directa con la distribución. Por ejemplo, aun cuando todos los individuos participen por igual en la producción y, por lo tanto, aporten magnitudes idénticas de valor al resultado final, esto no significa que vayan a poseer partes iguales de dicho resultado. Esto es perfectamente compatible con el hecho de que todo lo producido en el período se consume en el mismo lapso: no se acumula riqueza ni crece su valor.
Para abrir definitivamente la puerta a la investigación posterior, aunque pausando aquí el análisis, imaginemos como base de partida una sociedad con participación igualitaria en el proceso de producción. Por otro lado, al observar el proceso de distribución y tener en cuenta el umbral mínimo de posesión de medios de consumo que garantiza la supervivencia, tenemos que en una economía de subsistencia —que apenas asegura la creación de bienes para que todos los miembros de la sociedad sobrevivan— nos encontraríamos ante el sistema planteado de repartición justa. Ahora bien, supongamos que ha ocurrido un desarrollo de las fuerzas productivas que ha conllevado un salto cuantitativo en la cantidad de medios de consumo producidos. Idealmente, con un sistema de distribución justo, debería aumentar equitativamente la porción poseída por cada individuo, traduciéndose en una mejora de su nivel de vida. En la realidad histórica, un sistema de distribución no necesariamente equitativo abre la puerta para que, por un lado, ciertos individuos se mantengan en esa condición cercana a la subsistencia y, por el otro, algunos se eleven por encima de los primeros. La diferencia entre ese umbral mínimo de supervivencia y el remanente del que pueden apropiarse otros individuos es lo que se ha denominado plusvalía.
09 Funciones extendidas de los bienes
Anteriormente, en el apartado dedicado al valor de los bienes, se analizó el caso en que cualquier bien podía realizar la función de medio de producción, un fenómeno que allí denominé desdoblamiento funcional de los bienes. Ahora, en el estudio de las cantidades, abordo de nuevo este mismo fenómeno bajo un título distinto, haciendo referencia a la extensión de las funciones de los bienes más allá de lo que se considera su función primaria en la economía. Esto se debe a que, precisamente en esta sección, se hará muy evidente la importancia de la división de los bienes entre medios de producción —que garantizan la continuidad del proceso productivo en general— y medios de consumo, los cuales abandonan la esfera de la producción para pasar a la de consumo, donde son destruidos y pierden su valor.
Si tenemos en cuenta que cualquier bien puede ahora jugar el papel de medio de producción, el sistema de ecuaciones $(11)$ no estaría limitado a los elementos del conjunto $P$, sino que contendría los requerimientos de volúmenes de producción $v_j$ para todos los bienes del sistema económico; es decir, para todos los elementos de $G$. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones ahora sería:
$\forall j \epsilon G \left ( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right )$.
Ahora el sistema contiene $g$ ecuaciones (una para cada bien del sistema) e involucra, por tanto, una matriz cuadrada.
En forma vectorial, el sistema anterior se representa así:
$\pmb{v} = \mathbf{N}^T \pmb{v}$,
donde el vector de los volúmenes de producción es:
$\pmb{v} = [v_i]_{i \le g}$
Reagrupando los términos de los volúmenes de producción, obtenemos:
$(\mathbf{I}-\mathbf{N}^T)\pmb{v }= 0$.
Ahora bien, este sistema tiene soluciones no triviales si y solo si la matriz $(\mathbf{I}-\mathbf{N}^T)$ es singular. Dado que la transposición es distributiva respecto a la resta, sabemos que $(\mathbf{I}-\mathbf{N}^T)=(\mathbf{I}-\mathbf{N})^T$. Por otro lado, como la inversa de una matriz transpuesta es igual a la transpuesta de su matriz inversa, se cumple que:
$\left((\mathbf{I}-\mathbf{N})^T\right)^{-1}=\left((\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1}\right)^T$.
Con esto, si se cumple la premisa de solución única establecida en la parte anterior sobre el valor de los bienes y la matriz $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$ no es singular, tampoco lo será su transpuesta y, a su vez, no lo será $(\mathbf{I}-\mathbf{N}^T)$.
Por lo tanto, la exigencia de una solución no trivial para los volúmenes de producción de los bienes entra en flagrante contradicción con la existencia de una solución única para los valores de los mismos.
Dicho en otras palabras: si se espera que los valores de los bienes sean una propiedad intrínseca y propia de cada uno de ellos, y si dicha propiedad se fundamenta en relaciones técnicas representadas por una matriz cuyos elementos provienen de observaciones empíricas, la coherencia del modelo exige consistencia. Si la condición de unicidad de los valores depende de la no singularidad de dicha matriz, entonces esta propiedad algebraica no puede entrar en contradicción con el modo de hallar otras magnitudes relevantes del sistema económico que dependan de esa misma estructura.
Este es, precisamente, el escenario contradictorio que se acaba de presentar al intentar establecer los volúmenes de producción. Para que estos últimos posean una solución no trivial, se requiere que la misma matriz (o una derivada mediante transformaciones válidas) sea singular.
Veamos ahora el camino hacia la superación de esta contradicción.
Por funciones extendidas de los bienes entendemos aquellas en que un bien se presenta, en un sistema de relaciones económicas, en un rol distinto a su papel primordial, si cabe establecer dicha distinción. Básicamente significa que un bien cuya función principal es, digamos, servir de bien de consumo y así satisfacer necesidades directas de los individuos en la esfera de la economía que corresponde al consumo, en una circunstancia determinada juega una función distinta a la descrita, considerada primordial, y se presenta realizando la función de medio de producción; es decir, participa dentro del proceso de producción en la elaboración de otros bienes.
También puede ocurrir la situación inversa, en que un medio de producción —si se ha hecho tal distinción sobre un bien determinado— se presenta como bien de consumo.
El sistema de ecuaciones $(11)$, al establecerse, se basaba en la intención de determinar las cantidades necesarias de medios de producción que han de producirse en un período determinado de tiempo, tomado como referencia del estudio, para que el sistema se mantenga en un estado sostenible o de equilibrio con el paso del tiempo más allá del período estudiado; es decir, satisfacer las condiciones del modelo abstracto de un sistema económico de reproducción simple.
En dicho modelo, que se establecía como premisa del estudio en su parte inicial, el monto de bienes con que cuenta la sociedad no cambiaba a lo largo del tiempo: la economía no se expandía y tampoco se contraía.
Pero, como se hizo notar ahora, se buscaban las cantidades de bienes en su rol como medios de producción. Esta función no estaba prevista, según su propia definición, para los bienes de consumo. Por lo tanto, de continuar con el sistema de ecuaciones $(11)$ tal como se presentó, descubriríamos que el sistema está basado en una matriz no singular y, por lo tanto, no tiene otra solución que el vector cero; es decir, una economía que no produce ningún bien y que, por lo tanto, no tiene sentido.
El error consiste en hacer entrar los bienes de consumo en un sistema que los admite, por definición, como medios de producción. No debería asombrar que en ese rol se obtengan valores cero para su volumen de producción.
Para superar esto, el sistema tiene que distinguir ambos roles; es decir, tiene que establecer relaciones de cantidad entre los bienes que tengan en cuenta no solo su función como medios de producción —que en definitiva se gastan íntegramente dentro del proceso de producción—, sino que salen del proceso de producción con un volumen extra destinado a otro proceso económico: el consumo. Estos volúmenes son precisamente los que condicionan la razón de ser de un sistema económico, los que permiten considerarlo un sistema económico productivo. Por el contrario, un proceso económico improductivo es el que produce un vector de volúmenes de producción con todo ceros.
Estos volúmenes adicionales, destinados a ser consumidos en un proceso fuera del proceso de producción, los designamos con el vector $\ddot{\pmb{v}} = [\ddot{v}_i]_{i \le g}$. Estos volúmenes se toman aquí como magnitudes dadas y se consideran el objetivo establecido del sistema económico productivo.
Por otro lado, a los volúmenes de los bienes que participan en el proceso de producción y se gastan íntegramente en un ciclo de producción, transfiriendo su valor a otros bienes, se designan como $\dot{\pmb{v}} = [\dot{v}_i]_{i \le g}$.
Para el vector de los volúmenes totales de producción de cada bien, independientemente de su papel en los procesos de producción y consumo, se mantiene la designación $\pmb{v}$, el cual consiste en la suma de los dos vectores, $\dot{\pmb{v}}$ y $\ddot{\pmb{v}}$:
$\pmb{v} = \dot{\pmb{v}} + \ddot{\pmb{v}}$.
El sistema de ecuaciones de relaciones de cantidad entre los bienes, expresado en su forma general respecto a las funciones extendidas de los bienes con la correspondiente corrección, quedaría ahora:
$\forall j \in G \left( \dot{v}_j = \sum_{i=1}^{g} (\dot{v}_i + \ddot{v}_i) n_{ij} \right)$,
que en forma vectorial es así:
$\dot{\pmb{v}} = \mathbf{N}^T \pmb{v} = \mathbf{N}^T (\dot{\pmb{v}} + \ddot{\pmb{v}})$;
reagrupando los volúmenes de producción de los bienes en su función de medios de producción:
$(\mathbf{I}-\mathbf{N}^T)\dot{\pmb{v}} = \mathbf{N}^T \ddot{\pmb{v}}$.
Ahora ya no estamos en presencia de un sistema homogéneo. La solución única del sistema existe si $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$ es no singular, y depende del vector libre de los objetivos trazados para el sistema económico, representados en el vector $\ddot{\pmb{v}}$.
La solución del sistema es:
$\dot{\pmb{v}} = ((\mathbf{I}-\mathbf{N})^T)^{-1} \mathbf{N}^T \ddot{\pmb{v}} = ((\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1})^T \mathbf{N}^T \ddot{\pmb{v}} = \mathbf{S}^T \mathbf{N}^T \ddot{\pmb{v}} = (\mathbf{N}\mathbf{S})^T \ddot{\pmb{v}}$.
Si expresamos $\mathbf{S}$ como la suma de las potencias de $\mathbf{N}$, podemos representar la fórmula anterior de la manera siguiente:
$\dot{\pmb{v}}=\left( \mathbf{N}^T + (\mathbf{N}^T)^2 + (\mathbf{N}^T)^3 + \dots \right) \ddot{\pmb{v}}$.
Esta expresión demuestra de forma directa que el volumen de medios de producción necesarios ($\dot{\pmb{v}}$) es la suma de los requerimientos directos de primera generación para satisfacer el consumo ($\mathbf{N}^T \ddot{\pmb{v}}$), más los requerimientos indirectos de segunda generación ($(\mathbf{N}^T)^2 \ddot{\pmb{v}}$), tercera generación, y así sucesivamente.
10 Análisis de los volúmenes de producción homogeneizados con funciones extendidas
Ahora analizaremos los volúmenes de producción homogeneizados cuando los bienes se presentan actuando con funciones extendidas.
Aun teniendo en cuenta la importancia de la distinción entre las dos funciones de los bienes (es decir, su función como medio de producción por un lado y como bien de consumo por otro), asumiremos que el modo en que un bien se presenta ante nosotros es indiferente en cuanto a su funcionamiento dentro del sistema económico. Es decir, cualquier bien es indistinguible en cuanto a la operación que va a efectuar. Asimismo, se mantendrá idéntica la magnitud del valor de la unidad del bien, independientemente de su función.
Es precisamente esta propiedad la que nos permite sumar los elementos correspondientes de dicho bien en los vectores de los volúmenes de producción de los medios de producción ($\dot{\pmb{v}}$) y de consumo ($\ddot{\pmb{v}}$) en la fórmula:
$\pmb{v}=\dot{\pmb{v}}+\ddot{\pmb{v}}$.
Tal como vimos anteriormente, los volúmenes de producción de los distintos bienes se expresan en unidades específicas para cada bien. Debido a ello, los distintos elementos del vector de los volúmenes de producción $\pmb{v}$ no pueden sumarse entre sí. Para poder formular los volúmenes globales de producción, es necesario adoptar unidades de medida aplicables a todo bien; en nuestro caso, dichos volúmenes se expresan en valor-trabajo.
Antes se introdujo la magnitud $\omega_i=v_i\tau_i$ para identificar el volumen de producción en un periodo de referencia de un bien $i$ expresado en la cantidad de trabajo contenido en dicho volumen. Estos elementos se constituyen en el vector:
$\pmb{\omega}=[\omega_i]_{i \le g}$.
Ahora, sin embargo, la estructura de este vector es distinta debido a que los bienes pueden desempeñar funciones tanto como medios de producción como medios de consumo y los volúmenes de los bienes en dichas funciones forman dos vectores distintos de $g$ elementos ($\dot{\pmb{v}}$ y $\ddot{\pmb{v}}$). Es decir, el propio vector $\pmb{\omega}$ es la suma de los vectores $\dot{\pmb{\omega}}$, correspondiente a los volúmenes de los bienes en su función de medios de producción, y $\ddot{\pmb{\omega}}$, para los volúmenes de los bienes que pasan a la esfera del consumo:
$\pmb{\omega}=\pmb{v}\odot\pmb\tau=(\dot{\pmb{v}}+\ddot{\pmb{v}})\odot\pmb\tau=\dot{\pmb{v}}\odot\pmb\tau+\ddot{\pmb{v}}\odot\pmb\tau=\dot{\pmb{\omega}}+\ddot{\pmb{\omega}}$.
Sustituyendo en la fórmula anterior la relación intersectorial $\dot{\pmb{v}}=(\mathbf{NS})^T\ddot{\pmb{v}}$, tenemos:
$\pmb{\omega}=((\mathbf{NS})^T\ddot{\pmb{v}})\odot\pmb\tau+\ddot{\pmb{v}}\odot\pmb\tau$.
El volumen total de la producción de bienes en el período de referencia es la suma de todos los elementos del vector expresado en la fórmula anterior:
$\Omega=\pmb{1}^T\pmb{\omega}=\pmb{1}^T(((\mathbf{NS})^T\ddot{\pmb{v}})\odot\pmb\tau+\ddot{\pmb{v}}\odot\pmb\tau)=((\mathbf{NS})^T\ddot{\pmb{v}})^T\pmb\tau+\ddot{\pmb{v}}^T\pmb\tau$.
Aplicando la propiedad distributiva de la transposición en el primer término, la ecuación se puede expresar de forma simplificada como:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T(\mathbf{NS})\pmb\tau+\ddot{\pmb{v}}^T\pmb\tau$.
Ahora sustituimos el vector valor $\pmb\tau=\mathbf{S}\pmb{t}$:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T(\mathbf{NS})\mathbf{S}\pmb{t}+\ddot{\pmb{v}}^T\mathbf{S}\pmb{t}=\ddot{\pmb{v}}^T\mathbf{NS}^2\pmb{t}+\ddot{\pmb{v}}^T\mathbf{S}\pmb{t}$.
Agrupando los términos que multiplican el vector de los tiempos presente $\pmb{t}$, tenemos finalmente:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T \left(\mathbf{NS}^2+\mathbf{S}\right)\pmb{t}$.
También puede expresarse, si factorizamos $\mathbf{S}$ por al derecha, de la siguiente manera:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T \left(\mathbf{NS}+\mathbf{I}\right)\mathbf{S}\pmb{t}$.
11 Correspondencia del modelo general con el particular
Para asegurarnos de la consistencia del modelo, se ha de demostrar que la forma general del mismo, bajo los supuestos de la funciones extendidas de los bienes, colapsa exactamente en el modelo particular en que los bienes realizan una función única dentro del proceso económico.
El objetivo ahora es, una vez definido el volumen total de los bienes, expresado en valor, en la forma del modelo de funciones mixtas, como:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T \left(\mathbf{NS}+\mathbf{I}\right)\mathbf{S}\pmb{t}$,
demostrar que en condiciones de no duplicidad de funciones la fórmula anterior equivale a
$\Omega = \pmb{v}_c^T \mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})\pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T\pmb{t}_c$.
En las condiciones particulares el vector correspondiente a los volúmenes de producción de bienes destinados al consumo es:
$\ddot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix}\pmb{0}\\ \pmb{v}_c \end{bmatrix}\implies\ddot{\pmb{v}}^T=\begin{bmatrix}\pmb{0}&\pmb{v}_c^T \end{bmatrix}$.
Asimismo, el vector de los tiempos de trabajo presente es:
$\pmb{t}=\begin{bmatrix}\pmb{t}_p\\ \pmb{t}_c \end{bmatrix}$.
Por otro lado la matriz de coeficientes de participación es tal cual la habíamos definido antes en la parte sobre el valor de los bienes en la solución en bloques de matrices:
$\mathbf{N} = \begin{bmatrix}\mathbf{N}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{N}_c&\mathbf{0}\end{bmatrix}$.
También allí calculamos ya su inversa:
$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} \mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}$.
Cálculamos ahora la expresión central $(\mathbf{NS}+\mathbf{I})\mathbf{S}$:
Calculemos primero el producto interno $\mathbf{NS}$:
$\mathbf{NS} = \begin{bmatrix}\mathbf{N}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{N}_c&\mathbf{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{N}_c\mathbf{S}_p&\mathbf{0}\end{bmatrix}$.
Analicemos en la última matriz su componente bloque $\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p$.
Por definición tenemos como punto de partida:
$\mathbf{S}_p=(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)^{-1}$.
Si multiplicamos por la derecha ambos lados de esta ecuación por $(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)$, la inversa se «cancela»:
$\mathbf{S}_p(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)=\mathbf{I}$.
Ahora, distribuimos la matriz $\mathbf{S}_p$ multiplicándola por cada uno de los elementos que están dentro del paréntesis:
$\mathbf{S}_p\mathbf{I}-\mathbf{S}_p\mathbf{N}_p=\mathbf{I}$.
Se puede demostrar, multiplicando por ambos lados $(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p)$ por su inversa $\mathbf{S}_p$, que la multiplicación $\mathbf{S}_p\mathbf{N}_p$ es comutativa:
$\mathbf{S}_p\mathbf{N}_p=\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p$.
Con esto tenemos:
$\mathbf{S}_p-\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p=\mathbf{I}$.
Sumando $\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p$ por ambos lados:
$\mathbf{S}_p=\mathbf{I}+\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p$.
Ahora restamos $\mathbf{I}$ por ambos lados para aislar el término que buscábamos:
$\mathbf{S}_p-\mathbf{I}=\mathbf{N}_p\mathbf{S}_p$.
Por definición, el otro componente bloque no nulo de la matriz $\mathbf{NS}$ es:
$\mathbf{N}_c\mathbf{S}_p=\mathbf{S}_c$.
Así podemos reformular esta matriz de la siguiente manera:
$\mathbf{NS} = \begin{bmatrix}\mathbf{S}_p-\mathbf{I}&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{0}\end{bmatrix}$.
Si a esto sumamos la matriz identidad obtenemos un sorprendente resultado intermedio:
$\mathbf{NS}+\mathbf{I}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}=\mathbf{S}$.
Con lo anterior tenemos que el núcleo central de la fórmula general se reduce a:
$(\mathbf{NS}+\mathbf{I})\mathbf{S}=\mathbf{S}^2$.
Así la fórmula general se reduce a:
$\Omega=\ddot{\pmb{v}}^T \mathbf{S}^2\pmb{t}$.
Hallemos ahora $\mathbf{S}^2$:
$\mathbf{S}^2=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p^2&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c\mathbf{S}_p+\mathbf{S}_c&\mathbf{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p^2&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})&\mathbf{I}\end{bmatrix}$
Sustituyendo todos los factores en la fórmula general según definiciones anteriores:
$\Omega=\begin{bmatrix}\pmb{0}&\pmb{v}_c^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p^2&\mathbf{0}\\ \mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})&\mathbf{I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb{t}_p\\ \pmb{t}_c \end{bmatrix}$.
Realizando la primera multiplicación por la izquierda tenemos:
$\Omega=\begin{bmatrix}\pmb{v}_c^T\mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})&\pmb{v}_c^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb{t}_p\\ \pmb{t}_c \end{bmatrix}$.
Y finalmente, la multiplicación de vectores en la última fórmula nos lleva al resultado esperado:
$\Omega = \pmb{v}_c^T \mathbf{S}_c(\mathbf{S}_p+\mathbf{I})\pmb{t}_p+\pmb{v}_c^T\pmb{t}_c$.
Así queda demostrada la equivalencia del modelo desde las condiciones generales —en las que todos los bienes pueden participar en los procesos económicos tanto como medios de producción como de consumo— hasta el caso particular en el que los bienes realizan funciones puras, es decir, unos exclusivamente como medios de producción y otros como bienes de consumo.
Resumen sobre la escasez de los bienes
En esta parte ahondamos en las relaciones entre los bienes y vemos como existe una relación intrínseca entre estos debido a que unos son necesarios para producir otros.
Estas relaciones, a diferencia de las relaciones de tiempo entre los bienes, son más fácilmente observables debido a la forma directa en que unos bienes intervienen en la producción de otros, ya sea entregando su cuerpo o parte de este como objetos de trabajo para entrar a formar parte integra en los nuevos bienes, o prestándolo para unirse al proceso de creación de los bienes como medios de trabajo, asistiendo en la transformación de los primeros, y en cuyo proceso se someten a un desgaste que también es observable, aunque ya no con tanta facilidad.
La principal conclusión que se saca de las relaciones de cantidad entre los bienes es bastante intuitiva, aunque no deja de ser importante, y es que los volúmenes de producción de los medios de consumo están ligados con los volúmenes de producción de los medios de producción.
De esta facilidad de observación de las cantidades materiales de los bienes, o de sus predecesores – los recursos naturales, se deriva el exagerado papel que se atribuye a la escasez de los bienes en la creación de valor, llegando a afirmarse que es dicha escasez precisamente la que determina su valor.
Pero no se puede perder de vista que todo este proceso de producción está movido por un recurso universal, el trabajo humano, y que por tanto cada ingrediente (y también el resultado) de cada proceso es, aparte de su cuerpo material utilizado en cualquiera de las formas indicadas, un reflejo del uso de este recurso universal. Dicha pérdida de perspectiva dejaría el análisis, aparte de la ya intuitiva conclusión a que se hacía referencia más arriba, en una serie de relaciones cuantitativas de poco significado mucho más allá que para el mero propósito de optimizar los procesos específicos de producción de un bien determinado.
Dicho sesgo en el análisis muestra solo la materialidad cuantitativa de los bienes y extiende dicha visión a la fuerza de trabajo, tomándola como un recurso más del que hay que disponer para llevar a cabo los procesos del presente, utilizándola como herramienta en la producción de bienes, terminado por enterrar la esencia de todo el proceso.
Los factores de escasez de la fuerza de trabajo, y cómo la misma se distribuye entre los distintos procesos de producción de bienes, es el tema de la parte que sigue.
La parte que termina aquí se presenta también como una continuación del modelo numérico ilustrativo que se comenzó a desarrollar en la parte anterior.