Parte III – Valor de los bienes

07 Solución en bloques de matrices

Vamos ahora a buscar la solución al problema de las relaciones de tiempo entre los bienes en una sola operación global.

Para ello se unen los dos sistemas de relaciones de tiempo (4) y (7) en un sólo sistema de ecuaciones:
\begin{cases} \forall i \epsilon P \left ( \tau_i=t_i+ \sum\limits_{p}n_{ij}\tau_j \right ) \\ \\ \forall i \epsilon C\left ( \tau_i=t_i+\sum\limits_p n_{ij}\tau_j \right ) \end{cases}
Englobando los medios de producción y los bienes de consumo en un único conjunto de bienes:
\forall i \epsilon G\left ( \tau_i=t_i+\sum\limits_p n_{ij}\tau_j \right )\qquad(10)

Introducimos ahora las siguientes matrices y vectores globales:
\pmb{N}=[n_{ij}]_{(i\le g;j \le g)}=\begin{bmatrix} \pmb{N_p} & \pmb{0} \\ \pmb{N_c} & \pmb{0} \end{bmatrix} – Matriz de los coeficientes de participación de los bienes en la producción de bienes.
Para j > p los coeficientes son ceros puesto que los bienes del subconjunto medios de consumo no participan en la producción de otros bienes;
\pmb{\tau}=[\tau_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix} \pmb{\tau_p} \\ \pmb{\tau_c} \end{bmatrix} – Vector de los tiempos totales de los bienes; y

\pmb{t}=[t_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix} \pmb{t_p} \\ \pmb{t_c} \end{bmatrix} – Vector de los tiempos presentes de los bienes.

El sistema (10) representado en forma vectorial será:
\pmb{\tau=t+N\tau}\qquad(10')
y, agrupando los tiempos totales en la parte izquierda de las ecuaciones, tenemos:
\left(\pmb{I-N}\right)\pmb{\tau=t}\qquad(10'')

La solución del sistema expresada en términos de la inversa de la matriz es como sigue:
\pmb{\tau}=\left(\pmb{I-N}\right)^{-1}\pmb{t}=\begin{bmatrix} \pmb{I-N_p} & \pmb{0} \\ \pmb{-N_c} & \pmb{I} \end{bmatrix}^{-1}\pmb{t}

Utilizamos el teorema de la inversa de una matriz triangular inferior con bloques cuadrados en la diagonal por el cual se cumple
\begin{bmatrix} \pmb{I-N_p} & \pmb{0} \\ \pmb{-N_c} & \pmb{I} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \left(\pmb{I-N_p}\right)^{-1} & \pmb{0} \\ \pmb{N_c}\left(\pmb{I-N_p}\right)^{-1} & \pmb{I} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \pmb{S_p} & \pmb{0} \\ \pmb{S_c} & \pmb{I} \end{bmatrix}
Para obtener la última igualdad utilizamos las matrices estructurales de la producción introducidas anteriormente.

Así, la solución al sistema se presenta como
\pmb{\tau}=\begin{bmatrix} \pmb{S_p} & \pmb{0} \\ \pmb{S_c} & \pmb{I} \end{bmatrix}\pmb{t}

o también

\begin{bmatrix} \pmb{\tau_p} \\ \pmb{\tau_c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \pmb{S_p} & \pmb{0} \\ \pmb{S_c} & \pmb{I} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \pmb{t_p} \\ \pmb{t_c} \end{bmatrix} que es equivalente a las soluciones (6') y (9'')

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