Anexo III – Relaciones con respecto a funciones extendidas de los bienes

01 Forma general

En el presente anexo se presentarán las relaciones entre los bienes de una forma que tenga en cuenta la extensión de las funciones de los bienes más allá de sus funciones que pudieran considerarse fundamentales, superando ciertos supuestos hechos en las partes principales del estudio.

No se pretende con esto quitar validez a la presentación simplificada, sino suplementarla con un análisis más riguroso.

Según sus funciones los bienes se clasificaban en tres grandes grupos o conjuntos: objetos de trabajo, medios de trabajo y bienes de consumo. El estudio en sus partes principales se basa en que un bien realiza una sola función dentro del sistema económico, o bien participando como medio de producción (objeto o medio de trabajo) en los procesos de producción de bienes, o bien fuera de dicho proceso como bien para el consumo.

Para algunos bienes, debido a la universalidad de su uso, es difícil establecer su pertenencia a un conjunto específico de entre los mencionados. Se introducen a continuación sistemas de ecuaciones generalizados que reflejan las relaciones entre los bienes respecto a funciones extendidas de los mismos dentro del sistema económico. Con ello, la propia distinción entre los bienes según su función y su inclusión en un conjunto específico pierde relevancia, siendo de interés no tanto dicha clasificación o pertenencia a un conjunto específico, sino en qué funciones se manifiesta el mismo.

Cabe decir que esta perspectiva es sólo temporal y su propósito es de investigación teórica, puesto que considero muy relevante el uso que se le pueda dar a un bien desde el punto de vista de satisfacción de necesidades humanas, que asumo ha de ser el objetivo de mayor atención de la ciencia económica. De hecho, la forma general inmediatamente se empezará a desgranar en perspectiva de las distintas funciones económicas de los bienes que los dividen en los mencionados conjuntos.

Dejo, antes de proceder con la presentación de las ecuaciones, algunos ejemplos de bienes que pueden realizar distintas funciones dentro del sistema económico:

Algunos alimentos sirven como materia prima para elaborar otros alimentos, es decir realizan una función de objetos de trabajo dentro del proceso de producción de otros bienes. La leche es objeto de trabajo en la producción de queso, pero también funciona como bien de consumo cuando se toma directamente.

Los recursos energéticos, ejemplo carbón, pueden utilizarse como medio de trabajo en múltiples procesos productivos, pero también pueden considerarse un bien de consumo directo cuando se utilizan en los hogares para calefacción.

Los equipos informáticos son un bien cada vez más universal tanto como medio de producción (control de procesos, análisis de datos, y un gran etcétera) como bien de consumo (control del hogar, medio de información personal y de ocio, etc.)

a) Relaciones de tiempo entre los bienes en su forma general

Comienzo por las relaciones de tiempo entre los bienes expresadas en su forma general respecto a las funciones extendidas de los bienes (sistema de ecuaciones 10)
\forall i \epsilon G\left(\tau_i=t_i+\sum\limits_g n_{ij}\tau_j\right)

A diferencia del sistema de ecuaciones 10 ahora la sumatoria se realiza para todos los bienes del conjunto G puesto que cualquier bien puede participar en el proceso de creación de otros.

Con la ayuda de vectores y matrices el sistema pasa a representarse de la siguiente forma:
\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{\tau}
donde
\pmb{N}=[n_{ij}]_{(i\le g;j \le g)}
\pmb{\tau}=[\tau_i]_{i \le g}
y
\pmb{t}=[t_i]_{i \le g}

Reagrupando los tiempos totales \pmb{\tau} se obtiene:
\left(\pmb{I-N}\right)\pmb{\tau=t}

La solución del sistema para los tiempos totales:
\pmb{\tau}=\left(\pmb{I-N}\right)^{-1}\pmb{t}

En su forma extendida este sistema incluye relaciones en que todos los bienes, independientemente de su clasificación preferente al incluirlo dentro de uno de los tres conjuntos mencionados, pueden realizar funciones como las que se asignan a los miembros de otro conjunto.

La matriz identidad \pmb{I} aparecerá en múltiples ocasiones en operaciones junto a otras matrices cuadradas de distintas dimensiones, aunque no se especifique en cada caso, se sume que dicha matriz tendrá las dimensiones compatibles con las matrices junto a las cuales se opera.

Designo \pmb{S} la matriz estructural general:
\pmb{S}=\left(\pmb{I-N}\right)^{-1}
con lo que finalmente tengo:
\pmb{\tau}=\pmb{S}\pmb{t}

La solución \pmb{\tau} es única si la matriz \pmb{I-N} no es singular y \pmb{S} puede resolverse.

b) Relaciones de cantidad entre los bienes en su forma general

El sistema de ecuaciones 11 requiere una importante corrección antes de proceder a considerar con su ayuda las relaciones de cantidad entre los bienes expresadas en su forma general respecto a las funciones extendidas de los bienes.

La necesidad de dicha corrección se desprende de una importante contradicción a la cual se llega en el curso del análisis. Pretenderé en un principio que desconocemos este hecho para así poder mostrar, digamos de una forma ingenua, cómo se manifiesta dicha contradicción.

Así pues partimos del sistema de ecuaciones 11 sin tener en cuenta corrección alguna:
\forall j \epsilon G \left( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right)

Ahora el sistema de ecuaciones presenta una ecuación por cada bien del sistema económico (conjunto G) ya que cualquier bien puede participar en la creación de otros bienes.

En forma vectorial el sistema anterior se representa así:
\pmb{v}=\pmb{N}^T\pmb{v}
donde ahora el vector de los volúmenes de producción es
\pmb{v}=[v_i]_{i \le g}

Reagrupando los volúmenes de producción:
\left(\pmb{I}-\pmb{N}^T\right)\pmb{v}=\pmb{0}

Ahora, este sistema tiene soluciones no triviales si la matriz \pmb{I}-\pmb{N}^T es singular. La suma de matrices traspuestas es igual a la traspuesta de la matriz resultante de la suma de matrices, es decir \pmb{I}-\pmb{N}^T=\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^T. Por otro lado la inversa de la matriz traspuesta es igual a la traspuesta de la matriz inversa, por lo que tenemos \left(\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^T\right)^{-1}=\left(\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^{-1}\right)^T. Con esto, si la premisa de la solución única en a) se cumple y \pmb{I-N} no es singular, tampoco lo es su traspuesta y, a su vez, no lo es \pmb{I}-\pmb{N}^T. Así, la existencia de solución no trivial para los volúmenes de producción de bienes entra en contradicción con la existencia de solución única para los valores de los bienes.

Dicho en otras palabras, si se espera que los valores de los bienes sean una propiedad que se adscribe a ellos como algo intrínseco, propio de cada bien, y dicha propiedad se basa en condiciones que se expresan en unas relaciones determinadas, representadas matemáticamente en una matriz cuyos elementos se forman a partir de observaciones externas, y se establece además que la condición de unicidad de dicha propiedad para cada bien depende de la no singularidad de dicha matriz, entonces la mencionada propiedad de no singularidad no debe entrar en contradicción con el modo de encontrar otras magnitudes relevantes de los bienes, las cuales se muestren en dicho modo también dependientes de la misma matriz. Y este precisamente es el contradictorio caso que se acaba de presentar cuando se intentó establecer los volúmenes de producción de los bienes, que requieren para poder existir que la misma matriz (o alguna otra derivada de la anterior por medio de transformaciones válidas) sea singular.

El análisis que sigue intenta superar dicha contradicción.

Por funciones extendidas de los bienes entendemos aquellas en que un bien se presenta en un sistema de relaciones económicas en un roll distinto a su papel primordial, si cabe establecer dicha distinción. Básicamente significan que un bien cuya función principal es, digamos, servir de bien de consumo y así satisfacer necesidades directas de los individuos en la esfera de la economía que corresponde al consumo, en una circunstancia determinada, juega una función distinta a la descrita, considerada primordial, y se presenta realizando la función de medio de producción, es decir participa dentro del proceso de producción en la elaboración de otros bienes. También puede ocurrir una situación inversa, en que un medio de producción, si se ha hecho tal distinción sobre un bien determinado, se presenta como bien de consumo.

El sistema de ecuaciones 11, al establecerse, se basaba en la intensión de establecer las cantidades necesarias de medios de producción que han de producirse en un período determinado de tiempo, tomado como referencia del estudio, para que el sistema se mantenga en un estado sostenible o de equilibrio con el paso del tiempo más allá del período estudiado, es decir satisfacer las condiciones del modelo abstracto de un sistema económico de reproducción simple.

En dicho modelo, que se establecía como premisa del estudio en su parte inicial, el monto de bienes con que cuenta la sociedad no cambiaba a lo largo del tiempo, la economía no se expandía, y tampoco se contraía.

Pero como se hizo notar ahora, se buscaban las cantidades de bienes en su roll como medios de producción. Esta función no estaba prevista, según su propia definición, para los bienes de consumo. Por lo tanto, de continuar con el sistema de ecuaciones 11 tal como se presentó, descubriríamos que el sistema de ecuaciones está basado en una matriz no singular, y por tanto no tiene otra solución que el vector cero, es decir una economía que no produce ningún bien, y por lo tanto no tiene sentido.

El error consiste en hacer entrar los bienes de consumo en un sistema que los admite por definición como medios de producción. No debería asombrar que en ese roll se obtengan valores cero para su volumen de producción.

Para superar esto el sistema tiene que distinguir ambos roles, es decir tiene que establecer relaciones de cantidad entre los bienes que tengan en cuenta no solo su función como medios de producción, que en definitiva se gastan íntegramente dentro del proceso de producción, sino que salen del proceso de producción con un volumen extra, destinado a otro proceso económico, al consumo. Estos volúmenes son precisamente los que condicionan la razón de ser de un sistema económico, los que permiten considerarlo un sistema económico productivo. Por el contrario, un proceso económico improductivo es el que produce un vector de volúmenes de producción con todo ceros.

Estos volúmenes adicionales, destinados a ser consumidos en un proceso fuera del proceso de producción los voy a designar con el vector \ddot{\pmb{v}}:
\ddot{\pmb{v}}=[\ddot{v_i}]_{i \le g}

Estos volúmenes se toman aquí como magnitudes dadas y se consideran el objetivo establecido del sistema económico productivo.

Por otro lado, los volúmenes de los bienes que participan en el proceso de producción y se gastan en un ciclo de producción integramente, transfieriendo su valor a otros bienes los designo \dot{\pmb{v}}:
\dot{\pmb{v}}=[\dot{v_i}]_{i \le g}

Para el ventor de los volúmenes totales de producción de cada bien, independientemente de su papel en los procesos de producción y consumo, mantengo la designación \pmb{v} y consiste en la suma de los dos vectores \dot{\pmb{v}} y \ddot{\pmb{v}}:
\pmb{v}=\dot{\pmb{v}}+\ddot{\pmb{v}}

El sistema de ecuaciones de relaciones de cantidad entre los bienes expresadas en su forma general respecto a las funciones extendidas de los bienes con la correspondiente corrección quedaría ahora:
\forall j \epsilon G \left( \dot{v_j}=\sum\limits_{g}\left(\dot{v_i}+\ddot{v_i}\right)n_{ij}\right)
que en forma vectorial queda:
\dot{\pmb{v}}=\pmb{N}^T\pmb{v}=\pmb{N}^T\left(\dot{\pmb{v}}+\ddot{\pmb{v}}\right)
y reagrupando los volúmenes de producción de los biens en su función de medios de producción:
\left(\pmb{I}-\pmb{N}^T\right)\dot{\pmb{v}}=\pmb{N}^T\ddot{\pmb{v}}

Ahora ya no estamos en presencia de un sistema homogéneo. La solución única del sistema depende de la no singularidad de \pmb{I}-\pmb{N}^T y de los objetivos trazados del sistema económico representados en el vector \ddot{\pmb{v}}.

La solución del sistema es:
\dot{\pmb{v}}=\left(\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^T\right)^{-1}\pmb{N}^T\ddot{\pmb{v}}=\\\left(\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^{-1}\right)^T\pmb{N}^T\ddot{\pmb{v}}=\pmb{S}^T\pmb{N}^T\ddot{\pmb{v}}=\left(\pmb{N}\pmb{S}\right)^T\ddot{\pmb{v}}

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