Anexo III – Relaciones con respecto a funciones extendidas de los bienes

02 División en medios de producción y bienes de consumo

La distinción más importante de los bienes es aquella que se ha hecho a lo largo de toda la investigación entre medios de producción y bienes de consumo.

Veremos ahora cómo se refleja en las ecuaciones generales de relaciones entre lo bienes el supuesto de pertenencia de cada bien a uno y solo uno de los conjuntos ahora considerados. En esencia, esta parte es equivalente a como se ha presentado el trabajo en su parte principal, sólo que aquí las relaciones de tiempo y de cantidad se presentan primero partiendo de su forma general para finalmente mostrar como se llega a la forma particular presentada originalmente.

Los medios de producción son los únicos bienes que aportan coeficientes de participación en la matriz \pmb{N}. Los bienes, además, se agrupan de manera tal que se enumeran en primer lugar los medios de producción y finalmente los bienes de consumo. Así la matriz contiene coeficientes distintos de cero en sus columnas en la parte izquierda, correspondiente a los medios de producción y todo ceros en el resto de columnas en la parte derecha. Las propias columnas con los coeficientes de participación se dividen a su vez en la parte superior en aquellos correspondientes a la participación de los medios de producción en la producción de ellos mismos, lo que permite aislarlos en una matriz bloque cuadrada \pmb{N_p} en la parte superior izquierda de \pmb{N}. El resto de coeficientes en la parte inferior de las columnas corresponden a la participación de los medios de producción en la producción de bienes de consumo y forma una matriz \pmb{N_c}, comúnmente no rectangular, en la parte inferior izquierda de \pmb{N}. La matriz se complementa con bloques de dimensiones compatibles con todo ceros. Con esto \pmb{N} se representa así:
\pmb{N}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}

a) Relaciones de tiempo entre los bienes repartidos en medios de producción y bienes de consumo

Considerando \pmb{N} como se definió ahora:
\pmb{\tau}=\left(\pmb{I-N}\right)^{-1}\pmb{t}=\left(\pmb{I}-\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}\right)^{-1}\pmb{t}=\\\begin{bmatrix}\pmb{I}-\pmb{N_p}&\pmb{0}\\-\pmb{N_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}^{-1}\pmb{t}

Los componentes de la matriz a invertir \pmb{I}-\pmb{N} los designamos temporalmente con las siguientes matrices auxiliares:
\pmb{A_{11}}=\pmb{I}-\pmb{N_p}
\pmb{A_{21}}=-\pmb{N_c}
\pmb{A_{22}}=\pmb{I}
y así, con ayuda del teorema de la inversa de una matriz triangular inferior con bloques cuadrados en la diagonal:
\left(\pmb{I}-\pmb{N}\right)^{-1}=\begin{bmatrix}\pmb{A_{11}}&\pmb{0}\\\pmb{A_{21}}&\pmb{A_{22}}\end{bmatrix}^{-1}=\\\begin{bmatrix}\pmb{A_{11}}^{-1}&\pmb{0}\\-\pmb{A_{22}}^{-1}\pmb{A_{21}}\pmb{A_{11}}^{-1}&\pmb{A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(\pmb{I}-\pmb{N_p}\right)^{-1}&\pmb{0}\\\pmb{N_c}\left(\pmb{I}-\pmb{N_p}\right)^{-1}&\pmb{I}\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{S_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}
donde se han incorporado las matrices estructurales
\pmb{S_p}=\left(\pmb{I}-\pmb{N_p}\right)^{-1}
y
\pmb{S_c}=\pmb{N_c}\pmb{S_p}

Ahora la existencia de una única solución del sistema se reduce a la no singularidad de la matriz \pmb{I}-\pmb{N_p} y así poder resolver \pmb{S_p}.

La solución, en función de las matrices estructurales, queda:
\pmb{\tau}=\begin{bmatrix}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{S_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}\pmb{t}=\pmb{S}\pmb{t}
donde la matriz estructural general ahora es
\pmb{S}=\begin{bmatrix}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{S_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}

Descomponiendo los vectores de tiempo \pmb\tau y \pmb t en las partes correspondientes a los medios de producción y bienes de consumo:
\pmb{\tau}=\begin{bmatrix} \pmb{\tau_p} \\ \pmb{\tau_c} \end{bmatrix}
y
\pmb{t}=\begin{bmatrix} \pmb{t_p} \\ \pmb{t_c} \end{bmatrix}
la solución se presenta ahora así:
\begin{bmatrix} \pmb{\tau_p} \\ \pmb{\tau_c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{S_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \pmb{t_p} \\ \pmb{t_c} \end{bmatrix}
que finalmente permite expresar los valores-trabajo de los medios de producción por un lado:
\pmb{\tau_p}=\pmb{S_p}\pmb{t_p}
y de los bienes de consumo por otros:
\pmb{\tau_c}=\pmb{S_c}\pmb{t_p}+\pmb{t_c}

b) Relaciones de cantidad entre los bienes repartidos en medios de producción y bienes de consumo

Las relaciones entre los volúmenes de producción se definirían ahora de la siguiente manera:
\left(\pmb{I}-\pmb{N}^T\right)\dot{\pmb{v}}=\pmb{N}^T\ddot{\pmb{v}}\rightarrow\\\left(\pmb{I}-\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}^T\right)\dot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}^T\ddot{\pmb{v}}\rightarrow\\\begin{bmatrix}\pmb{I}-\pmb{N_p}&\pmb{0} \\-\pmb{N_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}^T\dot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}^T\ddot{\pmb{v}}\rightarrow\\\begin{bmatrix}\pmb{I}-\pmb{N_p}^T&-\pmb{N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{I}\end{bmatrix}\dot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{N_c} \\\pmb{0}&\pmb{0}\end{bmatrix}\ddot{\pmb{v}}

Su solución es:
\dot{\pmb{v}}=\left(\pmb{N}\pmb{S}\right)^T\ddot{\pmb{v}}=\left(\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0} \\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{S_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}\right)^T\ddot{\pmb{v}}=\\\begin{bmatrix}\pmb{N_p}\pmb{S_p}&\pmb{0}\\\pmb{N_c}\pmb{S_p}&\pmb{0}\end{bmatrix}^T\ddot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix}\left(\pmb{N_p}\pmb{S_p}\right)^T&\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T\\\pmb{0}&\pmb{0}\end{bmatrix}\ddot{\pmb{v}}

Ahora descompongo los vectores de volúmenes \dot{\pmb{v}} y \ddot{\pmb{v}} en las partes correspondientes a los medios de producción y bienes de consumo:
\dot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix} \dot{\pmb{v_p}} \\ \dot{\pmb{v_c}} \end{bmatrix}
y
\ddot{\pmb{v}}=\begin{bmatrix} \ddot{\pmb{v_p}} \\ \ddot{\pmb{v_c}} \end{bmatrix}
con lo que la solución se presenta:
\begin{bmatrix} \dot{\pmb{v_p}} \\ \dot{\pmb{v_c}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(\pmb{N_p}\pmb{S_p}\right)^T&\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T\\\pmb{0}&\pmb{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddot{\pmb{v_p}} \\ \ddot{\pmb{v_c}} \end{bmatrix}

Finalmente presento los volúmenes de producción de los medios de producción que corresponden a la franja superior del sistema de ecuaciones anterior:
\dot{\pmb{v_p}}=\left(\pmb{N_p}\pmb{S_p}\right)^T\ddot{\pmb{v_p}}+\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T\ddot{\pmb{v_c}}

En un sistema de reproducción simple los volúmenes de producción de los medios de producción en un período de estudio son iguales a los volúmenes de desgaste o consumo de los mismos dentro del proceso de producción en el mismo período. Esto significa que los medios de producción se fabrican en las justas cantidades de manera tal que los excedentes correspondientes a los medios de producción representados por \ddot{\pmb{v_p}} son todos iguales a cero. Con esto tenemos
\pmb{v_p}=\dot{\pmb{v_p}}+\ddot{\pmb{v_p}}=\dot{\pmb{v_p}}

Por otro lado, en esta parte se asume que los bienes de consumo no participan en la elaboración de otros bienes, lo que significa que de partida el vector \dot{\pmb{v_c}} es todo ceros y que todos sus volúmenes de producción se destinan a ser consumidos en el proceso de consumo, fuera del proceso de producción. En otras palabras, todo su excedente \ddot{\pmb{v_c}} es igual a los propios volúmenes de producción de estos bienes de consumo \pmb{v_c}:
\pmb{v_c}=\dot{\pmb{v_c}}+\ddot{\pmb{v_c}}=\ddot{\pmb{v_c}}

Teniendo en cuenta ambas consideraciones anteriores tenemos finalmente que los volúmenes de producción de los medios de producción se expresan de la siguiente forma:
\pmb{v_p}=\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T\pmb{v_c}=\pmb{S_c}^T\pmb{v_c}
tal como se había obtenido en la parte principal del estudio.

La franja inferior de las ecuaciones nos da la solución:
\pmb{\dot{v_c}}=\pmb{0}\pmb{\delta_p}+\pmb{0}\pmb{\delta_c}=\pmb{0}
que corresponde con la premisa de que los bienes de consumo no participan en la producción de bienes y los volúmenes requeridos para ese propósito son iguales a cero.

Páginas: 1 2 3