03 División en medios de producción y bienes de consumo con funciones extendidas

EL objetivo principal de introducir los sistemas de ecuaciones extendidos era expresar cómo se veían reflejados en las relaciones de tiempo y de cantidad de los bienes los casos en que los bienes realizan funciones distintas, extendidas más allá de una función que podría definirse como primaria y en la cual se nos presentan más habitualmente.

Ahora paso a reflejar en dichas relaciones una situación en que mantengo la división fundamental de los bienes en dos conjuntos, medios de producción por un lado, y bienes de consumo por otro, pero que realizan, digamos, funciones complementarías como miembros del conjunto opuesto, es decir se presentan los primeros como bienes de consumo y los segundos como medios de producción.

Primeramente describo la composición de la matriz .

La parte superior izquierda de la banda diagonal principal de contiene los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de medios de producción y conforman una matriz cuadrada de dimensión . Ahora se necesita un segundo índice para diferenciarla de otras matrices bloque en .

La parte inferior derecha de la banda diagonal principal de contiene los coeficientes de participación de los bienes de consumo actuando en función de medios de producción en la producción de bienes de consumo y conforman una matriz también cuadrada de dimensión .

La parte inferior izquierda debajo de la banda diagonal principal de contiene los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de bienes de consumo y conforman una matriz rectangular con filas y columnas.

Por último, la parte superior derecha encima de la banda diagonal principal de contiene los coeficientes de participación de los bienes de consumo actuando en función de medios de producción en la producción de medios de producción y conforman una matriz rectangular con filas y columnas.

a) Relaciones de tiempo entre los bienes repartidos en medios de producción y bienes de consumo con funciones extendidas

Con la nueva definición de ahora tengo:

Ahora las matrices auxiliares son:

Aplicaremos la definición de la inversa de una matriz de bloques:

donde es el complemento de Schur respecto a

que sustituyendo las matrices auxiliares queda así:

En las últimas transformaciones se ha utilizado la definición de la matriz estructural de producción de los medios de producción con el subíndice ampliado:

Y también de la matriz estructural de producción de los bienes de consumo con su subíndice ampliado:

Para definir las partes de la matriz estructural general se introducen matrices estructurales modificadas, las cuales quedan, sustituyendo las matrices auxiliares, de la siguiente manera:

También se introduce como la matriz estructural de participación de los bienes de consumo en la fabricación de bienes de consumo la matriz inversa del complemento de Schur:

La última matriz juega un papel importante en la economía puesto que contiene información sobre cómo los bienes de consumo que podrían pasar directamente a ser consumidos por los individuos son «retenidos» en el proceso de producción para procesarlos e incorporarlos en otros bienes de consumo.

Definimos además la matriz estructural de participación de los bienes de consumo en la fabricación de los medios de producción:

que juega un papel menos importante y que usualmente ha de contener pocos valores significativos, pero incluimos más bien por interés teórico y por la generalización de la investigación.

Con las últimas designaciones las matrices estructurales modificadas quedan asi:

Entonces la matriz estructural general queda definida así:

y la definición del valor-trabajo de los bienes:

Las magnitudes del valor-trabajo de los medios de producción ahora se definen como sigue:

Asimismo, las magnitudes de valor-trabajo de los bienes de consumo quedan definidas así:

Se puede verificar que cuando los bienes de consumo definidos no participan en la producción de otros bienes este último caso converge al anterior:
en la matriz es todo ceros y con ella todo el segundo término, entonces
en por la misma razón tenemos todo ceros, es decir
en las matrices y son todo ceros y el primer factor sería la inversa de la matriz unidad, que es la propia unidad y por tanto
en , por último por la razón anterior tenemos la matriz unidad, es decir

La convergencia se puede verificar también con los valores de y .
En la fórmula del primer vector es todo ceros y queda

por otro lado en la fórmula del segundo vector es la matriz identidad y queda

b) Relaciones de cantidad entre los bienes repartidos en medios de producción y bienes de consumo con funciones extendidas

Parto directamente de la definición de los volúmenes de los bienes del apartado anterior:

Procedo ahora a transformar la matriz:

Para mejor comprensión de las transformaciones uso nuevas matrices auxiliares:

Con nuevas matrices:

Redefino las matrices auxiliares:

Ahora:

Descomponiendo y :

Y de forma separada, los volúmenes de medios de producción:

y los volúmenes de bienes de consumo:

En el caso particular en que los excedentes de producción en el ciclo son sólo de bienes de consumo se cumple:

y entonces

y

La convergencia con el caso anterior en que los bienes de consumo no realizan función de medios de producción se verifica si , lo que se desprende de que ambas matrices son todo ceros y , lo que no es difícil comprobar siguiendo los orígenes de sus definiciones más arriba.