Parte III – Valor de los bienes – Ensayo sobre economía

Además de los medios de producción subdivididos a su vez en objetos de trabajo y medios de trabajo, entre todos los bienes creados por la sociedad existe un último grupo de bienes constituido por aquellos que son concebidos para ser utilizados por los individuos para satisfacer directamente sus más diversas necesidades.

Estos bienes se caracterizan por el hecho de que, después de ser producidos, no intervienen de nuevo, normalmente, en el proceso de creación de otros bienes, sino que son destinados directamente al consumo por los individuos.

Estos bienes son en realidad la finalidad del propio proceso de producción, son los medios de consumo.

Existen casos especiales en que algunos bienes, aunque generalmente concebidos para funcionar como medios de consumo, son revertidos al proceso de producción para fungir como medios de producción.

Unas veces esto ocurre debido a características inherentes al propio proceso de producción, como es el caso de la agricultura en que parte de los frutos se destina como semilla a la reproducción.

En otras ocasiones el medio de consumo se revierte al proceso de producción debido a utilidades que se le encuentran a un bien que en sus orígenes estaba destinado al consumo humano.

Un ejemplo de lo anterior son los frutos de la agricultura como el maíz que, a pesar de que su función principal fue históricamente la de servir de alimento a la sociedad, en tiempos más modernos se le encuentran otros usos como materia prima para la obtención de recursos energéticos como los biocombustibles, no destinados directamente al consumo humano.

Estos casos se estudiarán más adelante, pero no se tendrán en cuenta por el momento.

Se parte para el análisis de un conjunto bien definido de medios de consumo, es decir bienes que pasan al proceso de consumo para ser utilizados y destruidos por el uso dentro de este proceso.

Estos bienes son destruidos fuera del proceso de producción.

Aclaramos que al hablar de consumo nos referimos al proceso de satisfacción de las necesidades humanas en general, cualquiera que sea su índole, y no a acciones concretas de consumo.

Los bienes que actúan como medios de consumo, al realizar esta función abstracta materializada en acciones concretas de consumo, pueden actuar a su vez con respecto a esta acción concreta como objetos de consumo o medios de consumo.

Ejemplo: Digamos unos macarrones con chorizo, cuando una persona los está comiendo, están siendo objeto de esta acción concreta de consumo. Hay un proceso concreto de consumo – comer, que va dirigido a ellos, son el objeto que se va a destruir, a consumir. El plato en que se sirven y la cuchara con que se comen son medios de consumo, puesto que el individuo se ayuda con ellos como instrumentos a realizar el consumo. Sin embargo, en un sentido amplio de consumo humano, tanto los macarrones con chorizo como le plato y la cuchara son medios de consumo que sirven para satisfacer necesidades humanas, de alimentación unos y de realizar esta actividad en condiciones de higiene, de una manera cómoda y decente, los segundos. Aquí hay cierto paralelismo con los objetos de trabajo y lo medios de trabajo que dentro del proceso de producción realizan la función de medios de producción. Solo que tenemos en el caso del consumo dificultades lingüísticas para diferenciar el consumo concreto – comer, del consumo abstracto – alimentarse. Es que cuando se realiza el consumo en su sentido concreto las acciones del individuo no se consideran trabajo.

Recalcamos: no es en el último sentido de “medios” junto a «objetos de consumo» funcionando en una acción concreta de consumo que se utiliza en el presente estudio el término “medios de consumo” , sino en el sentido de medio para realizar el consumo en su sentido abstracto de satisfacción de necesidades humanas en general.

Esto va en línea con mi enfoque general que destaca como objetivo primario de la economía la satisfacción de necesidades humanas – el consumo, contrapuesto a las necesidades emergentes de aquellas – las necesidades de producción.

En ocasiones, y probablemente se haga en este estudio más de una vez, se utiliza en lugar de medios de consumo el termino «bienes de consumo». Más rara vez se puede encontrar la expresión «bienes de producción».

Con la definición del último subconjunto tenemos el conjunto $G$ de todos los distintos $g$ tipos de bienes producidos por la sociedad se subdivide en dos grandes grupos:

Por un lado tenemos que el conjunto $P$ de los distintos $p$ tipos de medios de producción, el cual a su vez se subdivide en otros dos subconjuntos – uno designado $O$ consistente de los distintos $o$ tipos de objetos de trabajo o materiales, y el del subconjunto $M$ constituido por los distintos $m$ tipos de medios de trabajo o herramientas.

Por otro lado está el grupo de los distintos $c$ tipos de medios de consumo que conforman el conjunto que se designará $C$.
Esto expresado en notación de conjuntos será:

$\begin{cases} P=\left \{ i|i \le p \right \} \\ C=\left \{ i|p+1 \le i \le p+c \right \} \\ G=P \cup C=\left ( O\cup M \right )\cup C \end{cases}$.

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02 Función del conjunto de los medios de consumo y desaparición de valor en dicha función

La solución del sistema de ecuaciones $(1G)$ nos permite establecer las cantidades totales de tiempo que pasan a formar parte de los distintos tipos de medios de consumo, como de cualquier otro bien.

A cada medio de consumo corresponde una ecuación de entre todas para el conjunto total de los distintos $g$ tipos de bienes.

Existe, sin embargo, una diferencia fundamental en el proceso de creación de valor entre los bienes que una vez elaborados vuelven al proceso de producción para participar activamente como componentes de éste, es decir los objetos de trabajo y los medios de trabajo agrupados en los distintos tipos $p=o+m$ de medios de producción, por un lado, y los bienes de consumo $c$, que salen de la esfera de producción para ser destruidos fuera de ésta, en la esfera del consumo, por otro.

Esto significa básicamente que los medios de consumo no participan en el proceso de creación de valor.

Su valor no se transfiere a otros bienes sino que es destruido en el proceso de su consumo.

El valor de los bienes de consumo encuentra su realización en la satisfacción de las necesidades humanas directas.

En la medida en que los bienes de consumo realizan su función de satisfacción de necesidades humanas, quedan sujetos a desgaste y van perdiendo paulatinamente sus propiedades óptimas que les permiten realizar dichas funciones, perdiendo en la misma medida su valor.

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03 Independencia de los medios de producción

Al no participar en los procesos de producción de otros bienes, ningún medio de consumo se encuentra presente en las partes derechas de las ecuaciones en el sistema $(1G)$.

Este hecho conlleva al desligamiento de las ecuaciones que definen los tiempos totales de los medios de producción del resto de las ecuaciones para los medios de consumo.

Así se obtienen dos sistemas de ecuaciones.

El primero define los tiempos totales para los distintos medios de producción:

$\forall i \epsilon P \left ( \tau_i=t_i+ \sum\limits_{o}o_{ij}\tau_j+ \sum\limits_{m} \frac{\tau_j}{d_{ij}} \right )$.$$\tag{1P}$$

El segundo establece los tiempos totales para cada uno de los elementos del conjunto de bienes de consumo:

$\forall i \epsilon C \left ( \tau_i=t_i+ \sum\limits_{o}o_{ij}\tau_j+ \sum\limits_{m} \frac{\tau_j}{d_{ij}} \right )$.$$\tag{1C}$$

El primer sistema de ecuaciones es independiente del segundo, puesto que según las premisas establecidas ninguno de los tiempos totales para crear los medios de consumo forma parte de este (las sumatorias se realizan solo en $o$ y $m$).

Sin embargo el segundo sistema sí depende del primero y es necesario resolver antes aquel para encontrar las soluciones al segundo, puesto que los medios de producción sí participan en el proceso de elaboración de los medios de consumo.

Para una mejor visualización de los sistemas de ecuaciones se introducen los coeficientes $n_{ij}$, que denominamos coeficientes de participación del bien (medio de producción) $j$ en la elaboración del bien $i$, y se definen como se describe a continuación:

Para los objetos de trabajo $n_{ij}=o_{ij}$, es decir, constituye la cantidad del objeto de trabajo $j$ que es necesario gastar para crear el bien $i$.

Para los medios de trabajo es la magnitud inversa a la durabilidad del medio de trabajo $j$ utilizado en la creación de bien $ i$, es decir $n_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}$.

Abstrayéndonos de las funciones de un medio de producción como objeto o medio de trabajo, concluimos que la magnitud $n_{ij}$ es simplemente la cantidad determinada de un medio de producción $j$ que es necesario involucrar en el proceso de producción para crear una unidad de un bien $i$.

Esta magnitud tiene un sentido real cuando se trata de objetos de trabajo ya que estos pasan directamente a formar parte del nuevo bien precisamente en dichas cantidades.

Al contrario, tiene un sentido abstracto al tratarse de medios de trabajo, puesto que estos no se incorporan a los nuevos bienes en su forma física.

Puede darse el caso en que $n_{ij}$ adquiere un sentido más real de cantidad de un medio de trabajo cuando para producir un bien $i$ se requiere la participación y el desgaste completo de más de una herramienta de un tipo determinado $j$. Con ello la durabilidad relativa de este medio sería menor que la unidad, siendo necesario involucrar en el proceso muchas herramientas del mismo tipo.

Por ejemplo, en arquitectónica de gran envergadura y que se construye en un plazo prolongado de tiempo es posible que se utilice un gran número de herramientas y útiles menores que se desgastan completamente durante el tiempo en que la obra queda terminada.

Ahora el sistema de ecuaciones para los medios de producción $(1P)$, homogeneizado con la introducción de los coeficientes $n_{ij}$, se representa como sigue:

$\forall i \epsilon P \left ( \tau_i=t_i+ \sum\limits_{p}n_{ij}\tau_j \right )$.$$\tag{1Pa}$$

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04 Actualización del valor de los medios de producción

En cada una de las ecuaciones del sistema $(1Pa)$ el tiempo total del medio de producción correspondiente, digamos $k$, entra dos veces, una en la parte izquierda (cuando $i=k$ tenemos $\tau_i=\tau_k$, y otra vez en la parte derecha, cuando al recorrer todos los valores de $p$ tenemos que $j$ llega a igualarse a $k$ y $\tau_j=\tau_k$.

La primera magnitud $\tau_i=\tau_k$ es el tiempo total que buscamos del bien (medio de producción) que se crea en el presente.

La segunda magnitud del otro lado de la ecuación $\tau_j=\tau_k$, es el tiempo total de ese mismo bien, pero creado en el pasado y que ahora participa en la creación de su semejante en un proceso de producción del presente.

No necesariamente estas magnitudes tienen que ser iguales, puesto que las condiciones de producción pueden haber cambiado.

En un principio en este estudio se considera que los procesos de producción se mantienen invariables de un ciclo a otro, por lo tanto estas magnitudes son iguales, dejando para un análisis posterior la situación en que no es así.

Tal análisis no se limitaría solamente a la variación de las condiciones de producción de los medios de producción en el tiempo, sino también al caso, mucho más relevante para un estudio de la economía moderna mundial, cuando las diferencias de dichas condiciones se manifiestan territorialmente, por ejemplo cuando en un país se utilizan medios de producción producidos en otro, con costes diferentes.

Adelantamos a favor de esta posición que el valor de los objetos económicos se toma con referencia a un instante y lugar determinados en que objetos idénticos se valoran de la misma manera.

Si en un proceso que se desarrolla digamos, en el presente, es posible crear un objeto invirtiendo en ello cierta cantidad de horas, tiene sentido asumir que ese mismo objeto, aunque producido en el pasado, al compararse con otros de su misma clase producidos según las posibilidades de la actualidad, contiene la misma cantidad de horas. Se asume que el cambio en los métodos de producción no influye en las propiedades que definen su utilidad. Al ser idéntica su utilidad no es posible demostrar que contiene distintas cantidades de horas de trabajo empleadas y por tanto su superioridad en valor. En realidad lo que ocurre es la revalorización del objeto individual, la actualización de su valor.

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05 Solución del sistema de ecuaciones de las relaciones de tiempo entre los medios de producción

El sistema $(1Pa)$ puede transformarse de la siguiente manera:

$\forall i \epsilon P \left(\tau_i-\sum\limits_{p}n_{ij}\tau_j=t_i\right)$.$$\tag{1Pb}$$

Se trata de un sistema de $p$ ecuaciones lineales con $p$ variables.

Introducimos las siguientes matrices y vectores:

$\mathbf{N}_p=[n_{ij}]_{(i\le p;j \le p)}$ – Matriz de los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de los medios de producción.
$\pmb{\tau}_p=[\tau_i]_{i \le p}$ – Vector de los tiempos totales de los medios de producción.
$\pmb{t}_p=[t_i]_{i \le p}$ – Vector de los tiempos presentes de los medios de producción.

Teniendo en cuanta la actualización del valor de los medios de producción como se asumió en el apartado anterior, es legítimo considerar, cuando $i=j$ en cada una de las ecuaciones del sistema $(1Pb)$, que $\tau_i=\tau_j$. Esto permite expresar dicho sistema en la siguiente forma vectorial:

$\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)\pmb{\tau}_p=\pmb{t}_p$,$$\tag{1Pc}$$

donde $\mathbf{I}$ es la matriz identidad de dimensión $p$.

La solución del sistema de ecuaciones $(1Pc)$ es:

$\pmb{\tau}_p=\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^{-1}\pmb{t_p}$.$$\tag{2P}$$

La no singularidad de la matriz $\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)$ se analizará más adelante.

De esta forma se puede conocer el tiempo total que se hace necesario invertir para producir un determinado medio de producción a partir de los coeficientes de participación de todos los medios de producción en los procesos de creación de otros medios de producción y de los tiempos presentes (de trabajo vivo) necesarios para crear esos mismos medios de producción a partir de los medios de producción necesarios como condiciones anteriores.

En el presente estudio este tiempo total representa el valor de los medios de producción, expresado en horas de trabajo humano, también conocido como valor-trabajo.

Para simplificar la expresión en lo que sigue se interpretará por valor-trabajo toda referencia al valor de un bien.

Ya en la página anterior se utilizó el término valor para referirnos al tiempo total contenido en los medios de producción. Es un término de de la economía marxista y, sin entrar en debates sobre si corresponde o no con lo que interpretan los estudios económicos en su variada gama de colores al referirse al valor de un bien, el presente estudio da significado de valor-trabajo al referirse al valor de un bien, es decir lo interpreta como la cantidad de horas socialmente necesarias para producir un bien, ciñéndose por completo en este respecto al término marxista.

Introducimos la matriz estructural de la producción de los medios de producción definida de la siguiente manera:

$\mathbf{S}_p=\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^{-1}$.

Esto permite representar a $(2P)$ como sigue:

$ \pmb{\tau}_p=\mathbf{S}_p \pmb{t}_p\qquad(2Pa)$.

La fórmula $(2Pa)$ expresa la cantidad de trabajo en horas contenida en una unidad de cada uno de los bienes – medios de producción, en horas de trabajo.

Una vez terminado todo bien, incluidos los medios de producción, contiene solo trabajo pretérito, no más que trabajo vivo cristalizado.

La fórmula expresa precisamente esta relación y resuelve además la aparente ilusión de que dado que para producir un bien es necesario utilizar bienes anteriores, los cuales a su vez requieren de otros creados aún antes y así sucesivamente, entonces, si el valor se determina por la cantidad de tiempo invertido en la producción de un bien, el valor debería tender al infinito, o por lo menos contener todo el trabajo humano de generaciones anteriores.

En realidad el valor según la fórmula $(2Pa)$ es la expresión del tiempo necesario para crear los bienes en las condiciones del presente.

El sistema de ecuaciones $(1Pc)$ y su resolución $(2P)$ son conocidos a los economistas y data de principios del siglo XX, aunque desde entonces estas relaciones entre los bienes se expresaron casi siempre en cantidades de dinero (específicamente en precios).

La interpretación que se propone aquí es sustancialmente diferente y expresa estas relaciones en cantidades de tiempo.

Al igual que allí era indiferente en qué moneda específica se expresaban las magnitudes de precio, en este estudio es indiferente la unidad de tiempo a tomar, aunque parece más propicio, debido a la valoración de los individuos de su tiempo individual y las convenciones sociales establecidas, expresarlas en horas de trabajo.

En un caso hipotético en que todos los medios de producción se crean sin el empleo de otros medios de producción, es decir con la aplicación de trabajo presente únicamente, entonces todos los coeficientes en la matriz $\mathbf{N}_p$ serían iguales a cero y de las ecuaciones anteriores se desprendería, como cabe esperar,

$\pmb{\tau}_p=\pmb{t}_p$.

Este caso se acercaría a una época muy temprana de una economía primitiva en que se comienzan a crear medios de producción a partir de esfuerzo humano sin ayuda de herramienta alguna.

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06 Valor de los medios de consumo

Con ayuda de los coeficientes de participación $n_{ij}$ el sistema de ecuaciones $(1C)$ de los tiempos totales de los medios de consumo se representa de la siguiente manera:

$\forall i \epsilon C\left ( \tau_i=t_i+\sum\limits_p n_{ij}\tau_j \right )$.$$\tag{1Ca}$$

Este sistema se resuelve directamente al conocer los tiempos presentes para cada medio de consumo, y los tiempos totales de producción de los medios de producción, calculados anteriormente.

Introducimos ahora los siguientes objetos matemáticos relacionados con los medios de consumo:

$\mathbf{N}_c=[n_{ij}]_{(p+1\le i\le p+c;j \le p)}$ – Matriz de los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de los medios de consumo.
$\boldsymbol{\tau}_c=[\tau_i]_{p+1 \le i \le p+c}$ – Vector de los tiempos totales de los medios de consumo.
$\mathbf{t}_c=[t_i]_{p+1 \le i \le p+c}$ – Vector de los tiempos presentes de los medios de consumo.

Así ahora se puede representar $(1Ca)$ en forma vectorial e indexarlo ya como la solución para el vector $\boldsymbol{\tau}_c$:

$\boldsymbol{\tau}_c=\mathbf{t}_c+\mathbf{N}_c\boldsymbol{\tau}_p$.$$\tag{2C}$$

Sustituyendo en $(2C)$ $\boldsymbol{\tau}_p$ según $(2P)$ se obtiene:

$\boldsymbol{\tau}_c=\mathbf{t}_c+\mathbf{N}_c\left ( \mathbf{I}-\mathbf{N}_p \right )^{-1} \mathbf{t}_p$,$$\tag{2Ca}$$

que utilizando la matriz estructural de la producción de los medios de producción anteriormente definida será:

$\boldsymbol{\tau}_c=\mathbf{t}_c+\mathbf{N}_c \mathbf{S}_p \mathbf{t}_p$.$$\tag{2Cb}$$

Introduciendo ahora la matriz estructural de la producción de bienes de consumo:

$\mathbf{S}_c=\mathbf{N}_c \mathbf{S}_p$,

tendríamos:

$\boldsymbol{\tau}_c=\mathbf{t}_c+\mathbf{S}_c \mathbf{t}_p$.$$\tag{2Cc}$$

De la misma manera que $(2Pa)$ lo hace para los medios de producción, la fórmula $(2Cc)$ expresa la cantidad de trabajo contenida en la unidad de los distintos bienes de consumo en horas de trabajo vivo, que se cristalizan en trabajo pretérito una vez terminado el bien.

A través de los coeficientes de la matriz $ \mathbf{S}_c$ los medios de producción repercuten en el valor de los bienes de consumo.

En un caso hipotético en que ningún medio de producción participa en la elaboración de un medio de consumo el valor de este último es solo trabajo invertido directamente en su producción (trabajo presente):

$\boldsymbol{\tau}_c=\mathbf{t}_c$,

que correspondería a una economía primitiva en que los medios de consumo se obtienen solo con la intervención de trabajo manual, directamente de material proporcionado por la naturaleza y sin la asistencia de instrumento alguno.

Con ayuda del sistema de ecuaciones $(2Pa)$ se conocen los tiempos necesarios para producir un bien de consumo determinado.

Estas cantidades de tiempo contienen, en primer lugar, los tiempos presentes que se hace necesario invertir para crear un ejemplar de un determinado bien de consumo una vez dadas todas las condiciones de producción.

Estos tiempos presentes determinan por lo tanto las necesidades de inversión de mano de obra en la esfera de producción de bienes de consumo.

Los tiempos totales encierran, además, los tiempos necesarios para crear todas las condiciones anteriores al propio proceso de producción de bienes de consumo. Pero no en su totalidad, sino en la medida en que estas condiciones se deterioran, merman en el proceso de creación de una unidad del bien de consumo.

En esa misma medida los medios de producción transfieren a los bienes de consumo las horas de trabajo pretérito en ellos contenidas.

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07 Representación y solución en bloques de matrices

Vamos ahora a buscar la solución al problema de las relaciones de tiempo entre los bienes en una sola operación global.

Para ello se unen los dos sistemas de relaciones de tiempo $(1Pa)$ y $(1Ca)$ en un sólo sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} \forall i \epsilon P \left ( \tau_i=t_i+ \sum\limits_{p}n_{ij}\tau_j \right ) \\ \\ \forall i \epsilon C\left ( \tau_i=t_i+\sum\limits_p n_{ij}\tau_j \right ) \end{cases}$.

Juntando los medios de producción y los bienes de consumo en un único conjunto de bienes, tenemos:

$\forall i \epsilon G\left ( \tau_i=t_i+\sum\limits_p n_{ij}\tau_j \right )$.$$\tag{1Ga}$$

Introducimos ahora las siguientes matrices y vectores globales:

$\mathbf{N}=[n_{ij}]_{(i\le g;j \le g)}=\begin{bmatrix} \mathbf{N}_p & \mathbf{0} \\ \mathbf{N}_c & \mathbf{0} \end{bmatrix}$ – Matriz de los coeficientes de participación de los bienes en la producción de bienes. Para $j > p$ los coeficientes son ceros puesto que los bienes del subconjunto medios de consumo no participan en la producción de otros bienes.
$\boldsymbol{\tau}=[\tau_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\tau}_p \\ \pmb{\tau}_c \end{bmatrix}$ – Vector de los tiempos totales de los bienes.
$\mathbf{t} = [t_i]_{i \le g} = \begin{bmatrix} \pmb{t}_p \\ \mathbf{t}_c \end{bmatrix}$ – Vector de los tiempos presentes de los bienes.

El sistema $(1Ga)$ representado en forma vectorial será entonces:

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{t} + \mathbf{N}\boldsymbol{\tau}$.$$\tag{1Gb}$$

Agrupando los tiempos totales en el miembro izquierdo de las ecuaciones, se obtiene:

$\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)\boldsymbol{\tau} = \mathbf{t}$.$$\tag{1Gc}$$

La solución del sistema, expresada en términos de la inversa de la matriz, es la siguiente:

$\boldsymbol{\tau} = \left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)^{-1}\mathbf{t} = \begin{bmatrix} \mathbf{I}-\mathbf{N}_p & \mathbf{0} \\ -\mathbf{N}_c & \mathbf{I} \end{bmatrix}^{-1}\mathbf{t}$.

Utilizamos el teorema de la inversa de una matriz triangular inferior con bloques cuadrados en la diagonal por el cual se cumple:

$\begin{bmatrix} \mathbf{I}-\mathbf{N}_p & \mathbf{0} \\ -\mathbf{N}_c & \mathbf{I} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{N}_c\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}_p\right)^{-1} & \mathbf{I} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p & \mathbf{0} \\ \mathbf{S}_c & \mathbf{I} \end{bmatrix}$.

Para obtener la última igualdad utilizamos las matrices estructurales de la producción introducidas anteriormente.

Así, la solución al sistema se presenta así:

$\boldsymbol{\tau}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p & \mathbf{0} \\ \mathbf{S}_c & \mathbf{I} \end{bmatrix}\mathbf{t}$.

O también:

$\begin{bmatrix} \boldsymbol{\tau}_p \\ \boldsymbol{\tau}_c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{S}_p & \mathbf{0} \\ \mathbf{S}_c & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{t}_p \\ \mathbf{t}_c \end{bmatrix}$.

A través de simples operaciones algebraicas con bloques de matrices es fácil observar que este sistema nos lleva a las soluciones $(2Pa)$ y $(2Cb)$.

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08 Desdoblamiento funcional de los bienes

Hasta aquí se ha establecido una marcada distinción entre los bienes que actúan como medios de producción en el proceso de creación de bienes y aquellos que resultan de dicho proceso para salir de él sin volver a incorporarse, convirtiéndose en bienes de consumo.

Esta distinción está íntimamente relacionada con la condición física de cada bien y con la forma en que dicha condición determina su capacidad para desempeñar determinadas funciones.

Sin embargo, pueden darse múltiples circunstancias en las que las funcionalidades físicas de un bien adquieren formas funcionales distintas desde el punto de vista económico.

Más concretamente, como ya se ha mencionado ocasionalmente, algunos medios de producción pueden desempeñar funciones propias de los bienes de consumo y, viceversa, algunos bienes destinados principalmente al consumo pueden encontrarse realizando funciones propias de los medios de producción.

Algunos ejemplos ayudan a ilustrar este fenómeno.

El caso clásico es el de determinados bienes agrícolas, como los cereales, cuyo propósito principal es servir de alimento a la sociedad, pero de los que es necesario reservar una parte como semilla para garantizar la cosecha del siguiente período de producción.

Más aún, en un estudio con un mayor grado de granularidad en la clasificación de los bienes, la propia frontera entre medios de producción y bienes de consumo puede desplazarse hacia los primeros si se consideran procesos intermedios de elaboración de alimentos.

Así, el trigo y la cebada, desde esta perspectiva, dejarían funcionalmente de clasificarse como alimentos o bienes de consumo para pasar a considerarse objetos de trabajo destinados a la elaboración de pan y cerveza, respectivamente.

Algunos alimentos, como la leche, cumplen ambas funciones y participan en ambos procesos (consumo o producción) manteniendo su esencia física prácticamente inmutable. En primer lugar, es un alimento esencial listo para ser consumido directamente; pero, al mismo tiempo, puede servir como materia prima para elaborar otros productos —como queso o yogur—, actuando así como objeto de trabajo dentro del proceso de producción de nuevos bienes.

Otro ejemplo relevante es el de la energía, independientemente de su origen. Cuando se emplea en procesos industriales, funciona claramente como un medio de producción; en cambio, cuando se destina al ámbito doméstico, desempeña la función de un bien de consumo.

Este fenómeno también se observa con frecuencia en los medios de trabajo. Muchas herramientas utilizadas en la industria se aplican igualmente en el ámbito doméstico; sin embargo, en este último realizan tareas auxiliares que difícilmente pueden considerarse parte de un proceso productivo y que, por lo tanto, se aproximan más a la función de un bien de consumo.

Los equipos informáticos son el ejemplo más universal de esta dualidad. Actúan tanto como medios de producción (control de procesos, análisis de datos, entre otros) como bienes de consumo (gestión del hogar, acceso a la información personal y entretenimiento).

Estos ejemplos muestran cómo las características físicas de un bien pueden estar desligadas de la función que este desempeña dentro del proceso económico, lo que exige un análisis más cuidadoso a la hora de clasificarlo como medio de producción o como bien de consumo.

A partir de estas consideraciones, abordo en la siguiente sección la fórmula general del valor de los bienes.

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09 Fórmula general del valor

Volviendo la mirada a la sección donde se presentó el sistema de ecuaciones para la determinación del valor de los bienes en forma de bloques de matrices, se recordará que allí se introdujo la matriz $\mathbf{N}$. En su sección izquierda, esta matriz contenía los coeficientes de participación de los medios de producción en la creación de todos los bienes:

$[n_{ij}]_{1\le i\le g,1\le j\le p}\ge 0$.

Por su parte, la porción derecha de la matriz, correspondiente a las últimas $g-p$ columnas, estaba compuesta únicamente por ceros:

$[n_{ij}]_{1\le i\le g,p+1\le j\le g}=0$.

Ahora bien, debido a que los bienes de consumo —tal como se acaba de exponer— pueden intervenir como medios de producción en el proceso de creación de otros bienes, los coeficientes de estas últimas columnas no serán necesariamente nulos, pudiendo ser mayores que cero:

$[n_{ij}]_{1\le i\le g,1\le j\le g)}\ge 0$.

De este modo, a causa del desdoblamiento de funciones de los bienes, el sistema de ecuaciones $(1Ga)$ contiene ahora, en su lado derecho, contribuciones potenciales no solo de los $p$ bienes que tradicionalmente se consideraban medios de producción, sino de la totalidad de los $g$ bienes. Con esto, dicho sistema adopta la siguiente forma:

$\forall i \epsilon G\left(\tau_i=t_i+\sum\limits_g n_{ij}\tau_j\right)$

En su forma matricial, el sistema se expresa de manera idéntica a $(1Gb)$:

$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\mathbf{N}\pmb{\tau}$.

La diferencia radica en que ahora la matriz de coeficientes $\mathbf{N}$ ya no contiene solo ceros en su sector derecho, específicamente en las columnas correspondientes a los $c=g-p$ medios de consumo.

De forma análoga al procedimiento seguido exclusivamente para los medios de producción, se obtiene ahora la solución del valor de los bienes en su forma general:

$\boldsymbol{\tau}=\pmb{t}+\mathbf{N}\boldsymbol{\tau}$.

Al agrupar los tiempos totales $\boldsymbol{\tau}$ en el miembro izquierdo de la ecuación —y considerando el principio fundamental de actualización al presente del valor de los bienes—, se llega a una expresión idéntica a $(1Gc)$:

$\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)\boldsymbol{\tau}=\mathbf{t}$

Finalmente, la solución se expresa mediante la inversa de la matriz $\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)$:

$\boldsymbol{\tau}=\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)^{-1}\mathbf{t}$.

En su forma extendida, este sistema incluye relaciones donde todos los bienes —independientemente de su clasificación original en alguno de los tres conjuntos mencionados— pueden cumplir funciones asignadas a los miembros de otro conjunto.

Por otro lado, la matriz identidad $\mathbf{I}$ aparecerá en múltiples ocasiones en operaciones junto a otras matrices cuadradas de distintas dimensiones. Aunque no se especifique en cada caso, se asume que dicha matriz tendrá las dimensiones compatibles con las matrices con las que opera.

Si denotamos $\mathbf{S}$ la matriz estructural general, tal que:

$\mathbf{S}=\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)^{-1}$,

Entonces tenemos:

$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{S}\mathbf{t}$.

EL vector de los tiempos totales $\boldsymbol{\tau}$ tiene una solución única si la matriz $\left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)$ no es singular y la matriz estructural $\mathbf{S}$ puede definirse.

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10 Interpretación de la matriz estructural

La matriz estructural general $\mathbf{S}$ del apartado anterior actúa como una función que procesa el elemento de entrada del sistema —el vector de los tiempos de trabajo presentes $\mathbf{t}$— y lo transforma en el vector de los tiempos de trabajo totales de los bienes —el vector $\boldsymbol{\tau}$—. Constituye, por tanto, una caracterización de la estructura técnica del sistema de producción, la cual se manifiesta en la dirección y magnitud que le proporciona al vector del valor de los bienes.

Esta estructura interna de la maquinaria creadora de valor constituye, precisamente, su segundo componente imprescindible: la manifestación de las fuerzas de la naturaleza tal como han sido asimiladas por la sociedad en un momento determinado de su desarrollo histórico, y puestas a su servicio en forma de medios de producción de los bienes con los que satisface sus necesidades.

Si consideramos, desde una interpretación geométrica, que el espacio de los tiempos de trabajo presentes asociados a los bienes define un espacio vectorial, entonces la matriz $\mathbf{S}$ representa una transformación lineal desde dicho espacio de tiempos presentes hacia el espacio de los tiempos totales, los cuales son equivalentes, por definición, al valor de los bienes.

Al volver nuestra mirada hacia la matriz estructural, se observa que su representación original —al involucrar la inversa de una diferencia de matrices— ofrece escasos elementos para interpretar intuitivamente el sentido de su estructura.

La situación resulta mucho más favorable para la interpretación de dicha relación si la expresamos mediante una descomposición fundamental del álgebra lineal:

$\mathbf{S} = (\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1} = \mathbf{I} + \mathbf{N} + \mathbf{N}^2 + \mathbf{N}^3 + \cdots$.

Esta serie de potencias matriciales se conoce como serie de Neumann, la cual constituye la extensión al ámbito matricial de la clásica serie geométrica escalar:

$1 + n + n^2 + n^3 + \cdots = \frac{1}{1-n}, \quad $ para $|n| < 1$.

Esta equivalencia se verifica de la siguiente manera:

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$, obtenemos:

$(\mathbf{I}-\mathbf{N})(\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1} = (\mathbf{I}-\mathbf{N})(\mathbf{I} + \mathbf{N} + \mathbf{N}^2 + \mathbf{N}^3 + \cdots)$.

Por definición, el lado izquierdo de la ecuación se reduce a la matriz identidad $\mathbf{I}$.

Por su parte, al desarrollar y distribuir el lado derecho, se obtiene la siguiente expresión:

$(\mathbf{I} + \mathbf{N} + \mathbf{N}^2 + \mathbf{N}^3 + \cdots) – (\mathbf{N} + \mathbf{N}^2 + \mathbf{N}^3 + \mathbf{N}^4 + \cdots)$.

Al efectuar la resta, todos los términos de potencias consecutivas se cancelan mutuamente, quedando únicamente la matriz identidad $\mathbf{I}$.

De este modo, se comprueba que ambos lados de la igualdad son idénticos.

Recordemos la expresión matricial del valor de los bienes, incorporando ahora la descomposición de la matriz estructural:

$\pmb{\tau} = \mathbf{S}\pmb{t} = \left(\mathbf{I}-\mathbf{N}\right)^{-1}\pmb{t} = \left(\mathbf{I} + \mathbf{N} + \mathbf{N}^2 + \mathbf{N}^3 + \cdots\right)\pmb{t}$.

Al aplicar la propiedad distributiva del producto matricial, obtenemos:

$\pmb{\tau} = \pmb{t} + \mathbf{N}\pmb{t} + \mathbf{N}^2\pmb{t} + \mathbf{N}^3\pmb{t} + \cdots$.

Siempre que esta serie converja, nos encontraremos ante una secuencia de aproximaciones sucesivas hacia el valor total de los bienes.

Esta sucesión parte del trabajo vivo aportado directamente a la producción; es decir, la primera aproximación al vector de valores de los bienes viene dada por el propio vector de trabajo presente:

$\pmb{\tau} \approx \pmb{t}$.

En un sistema de producción poco desarrollado —caracterizado por una escasa dependencia de medios de trabajo sofisticados y el uso de herramientas rudimentarias—, la mayor proporción del valor de los bienes proviene del esfuerzo directo sobre la naturaleza. En estas condiciones, el valor total queda determinado en gran medida por dicho componente, lo que hace que la primera aproximación ($\pmb{\tau} \approx \pmb{t}$) constituya una parte sustancial del valor definitivo.

En los siguientes apartados analizaremos dos metodologías distintas para aproximarnos al valor de los bienes.

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11 Método extendido para un bien específico

Para un bien $i$, su valor en la primera aproximación sería:

$\tau_i \approx t_i$.

El siguiente término de la aproximación —contenido en el producto $\mathbf{N}\pmb{t}$— se obtiene mediante el producto escalar de la fila $i$ de la matriz $\mathbf{N}$ por el vector $\pmb{t}$. Esta cantidad representa las porciones de trabajo presente que se emplearon en la fabricación de los medios de producción, las cuales están contenidas en las fracciones en que estos participan de manera directa en la elaboración del bien $i$:

$\tau_i \approx t_i + n_{i1}t_1 + n_{i2}t_2 + \cdots + n_{ij}t_j + \cdots + n_{ig}t_g$.

Cada término $n_{ij}$ representa la proporción material del medio de producción $j$ que se «transfiere» al bien $i$ durante su proceso de fabricación.

La expresión anterior constituye la segunda aproximación de $\tau_i$. Esta coincidiría con su valor definitivo si en cada término $n_{ij}t_j$ figurase el valor total de las partes transferidas; es decir, si dispusiéramos de $\tau_j$ en lugar de $t_j$. En otras palabras, dichas porciones de medios de producción aparecen todavía evaluados únicamente en su primera aproximación.

Para hallar la tercera aproximación de $\tau_i$, es necesario expresar cada porción de valor $n_{ij}\tau_j$ de los medios de producción a partir de su respectiva segunda aproximación:

$n_{ij}\tau_j \approx n_{ij}(t_j + n_{j1}t_1 + n_{j2}t_2 + \cdots + n_{ji}t_i + \cdots + n_{jg}t_g)$.

Si sustituimos cada uno de los valores de los medios de producción de la segunda aproximación de $\tau_i$ por sus respectivas segundas aproximaciones, obtenemos la tercera aproximación:

$\begin{aligned} \tau_i \approx t_i &+ n_{i1}(t_1 + n_{11}t_1 + n_{12}t_2 + \cdots + n_{1i}t_i + \cdots + n_{1g}t_g) \\ &+ n_{i2}(t_2 + n_{21}t_1 + n_{22}t_2 + \cdots + n_{2i}t_i + \cdots + n_{2g}t_g) \\ &\;\vdots \\ &+ n_{ii}(t_i + n_{i1}t_1 + n_{i2}t_2 + \cdots + n_{ii}t_i + \cdots + n_{ig}t_g) \\ &\;\vdots \\ &+ n_{ig}(t_g + n_{g1}t_1 + n_{g2}t_2 + \cdots + n_{gi}t_i + \cdots + n_{gg}t_g) \end{aligned}$.

Al reagrupar los términos, podemos segregar con claridad la parte que corresponde a la segunda aproximación de aquellos elementos adicionales que configuran la tercera:

$\begin{aligned} \tau_i \approx t_i &+ n_{i1}t_1 + n_{i2}t_2 + \cdots + n_{ii}t_i + \cdots + n_{ig}t_g \\ &+ n_{i1}(n_{11}t_1 + n_{12}t_2 + \cdots + n_{1i}t_i + \cdots + n_{1g}t_g) \\ &+ n_{i2}(n_{21}t_1 + n_{22}t_2 + \cdots + n_{2i}t_i + \cdots + n_{2g}t_g) \\ &\;\vdots \\ &+ n_{ii}(n_{i1}t_1 + n_{i2}t_2 + \cdots + n_{ii}t_i + \cdots + n_{ig}t_g) \\ &\;\vdots \\ &+ n_{ig}(n_{g1}t_1 + n_{g2}t_2 + \cdots + n_{gi}t_i + \cdots + n_{gg}t_g) \end{aligned}$.

Si reagrupamos ahora los términos en función de cada uno de los elementos del vector $\pmb{t}$, obtenemos:

$\begin{aligned} \tau_i \approx t_i &+ n_{i1}t_1 + n_{i2}t_2 + \cdots + n_{ii}t_i + \cdots + n_{ig}t_g \\ &+ (n_{i1}n_{11} + n_{i2}n_{21} + \cdots + n_{ii}n_{i1} + \cdots + n_{ig}n_{g1})t_1 \\ &+ (n_{i1}n_{12} + n_{i2}n_{22} + \cdots + n_{ii}n_{i2} + \cdots + n_{ig}n_{g2})t_2 \\ &\;\vdots \\ &+ (n_{i1}n_{1i} + n_{i2}n_{2i} + \cdots + n_{ii}n_{ii} + \cdots + n_{ig}n_{gi})t_i \\ &\;\vdots \\ &+ (n_{i1}n_{1g} + n_{i2}n_{2g} + \cdots + n_{ii}n_{ig} + \cdots + n_{ig}n_{gg})t_g \end{aligned}$.

Se puede observar que las sumas encerradas entre paréntesis representan, precisamente, los elementos de la fila $i$ de la matriz $\mathbf{N}$ multiplicada por sí misma; es decir, corresponden a los coeficientes de la matriz $\mathbf{N}^2$.

Así, estaríamos ante el tercer término de la aproximación de $\tau_i$, el cual corresponde ahora a las transferencias de trabajo presente provenientes de los medios de producción de segundo orden; es decir, de aquello medios de producción que participaron en la fabricación de los medios de producción directos del bien $i$, cuyos valores se encuentran contenidos en el producto $\mathbf{N}^2\pmb{t}$.

Este proceso, extendido de manera indefinida, arrojaría —siempre que la serie converja— el valor exacto de $\tau_i$.

Evidentemente, continuar con el desarrollo algebraico expuesto resulta innecesariamente complejo, por lo que existe una vía más sencilla para abordar el cálculo, la cual examinaremos en el siguiente apartado.

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12 Método matricial de aproximación al valor de los bienes

De nuevo partimos de la fórmula del valor de los bienes:

$\pmb{\tau} = (\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1}\pmb{t}$.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$:

$(\mathbf{I}-\mathbf{N})\pmb{\tau} = (\mathbf{I}-\mathbf{N})(\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1}\pmb{t}$.

Al distribuir los términos en el lado izquierdo y efectuar el producto de matrices en el derecho, obtenemos:

$\pmb{\tau}-\mathbf{N}\pmb{\tau} = \pmb{t}$.

Ahora, sumando el producto $\mathbf{N}\pmb{\tau}$ a ambos lados, llegamos finalmente a:

$\pmb{\tau} = \pmb{t} + \mathbf{N}\pmb{\tau}$.

El vector $\pmb{\tau}$, que representa los tiempos totales o valores de los bienes, aparece ahora en ambos lados de la ecuación. Al aplicar el principio fundamental de la teoría del valor, según el cual la actualización de los costes pasados al momento presente exige que consideremos $\pmb{\tau}$ con la misma magnitud en ambos miembros, podemos realizar una sustitución recursiva. Así, tenemos:

$\pmb{\tau} = \pmb{t} + \mathbf{N}(\pmb{t} + \mathbf{N}\pmb{\tau})$.

Al distribuir la matriz $\mathbf{N}$ en el segundo término, resulta:

$\pmb{\tau} = \pmb{t} + \mathbf{N}\pmb{t} + \mathbf{N}^2\pmb{\tau}$.

Si iteramos este proceso de sustitución consecutivamente $k$ veces, obtenemos la siguiente expresión:

$\pmb{\tau} = \pmb{t} + \mathbf{N}\pmb{t} + \mathbf{N}^2\pmb{t} + \mathbf{N}^3\pmb{t} + \cdots + \mathbf{N}^k\pmb{\tau}$.

La condición de convergencia es equivalente a la extinción del último término, el cual contiene a $\pmb{\tau}$; es decir, se cumple si:

$\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{N}^k\pmb{\tau} = \mathbf{0}$.

Dado que $\pmb{\tau}$ no es el vector nulo por definición, esta condición equivale a que todos los elementos de la potencia $k$-ésima de la matriz $\mathbf{N}$ tiendan a cero a medida que $k$ tiende a infinito:

$\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{N}^k = \mathbf{0}$.

Así, se constata cómo las distintas partes del propio vector $\pmb{\tau}$ —encarnadas materialmente en los elementos de la matriz $\mathbf{N}$ en forma de valor, es decir, como tiempo de trabajo pretérito de los medios de producción— se reincorporan al valor resultante de la producción actual.

Con la extinción del componente de $\pmb{\tau}$ situado en el extremo derecho del desarrollo secuencial, se observa cómo los tiempos de trabajo que en su momento constituyeron el trabajo presente en la fabricación de bienes del pasado quedaron plasmados en estos, para reaparecer ulteriormente en los bienes obtenidos en los nuevos ciclos productivos, donde aquellos bienes operan ya como medios de producción.

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13 Convergencia del sistema de ecuaciones del valor de los bienes

Pasamos a analizar ahora las condiciones para que el sistema de ecuaciones del valor de los bienes sea resoluble.

Partiremos de la matriz de coeficientes de participación $\mathbf{N}$ en su forma general.

Nos interesa investigar las condiciones bajo las cuales la matriz que se deriva de la anterior —tal como se presenta en el sistema de ecuaciones de la fórmula general para determinar el valor de los bienes, es decir, la matriz $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$— es invertible y, a su vez, existe la matriz estructural $\mathbf{S}$.

Estas mismas condiciones son las que garantizan la convergencia de la descomposición de la inversa de $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$ en una serie de potencias de $\mathbf{N}$.

Antes de exponer estas condiciones para el caso general del sistema de ecuaciones, conviene detenerse en un supuesto particular sumamente representativo del fenómeno estudiado. Este análisis previo facilitará la visualización del problema antes de abordar la formulación general, cuya naturaleza exige un mayor grado de abstracción.

Partimos de una relación muy simple entre $\pmb{\tau}$ y $\pmb{t}$ para una economía compuesta por un único bien. En este escenario, la producción no utiliza ningún medio de trabajo; es decir, el bien se elabora con el concurso exclusivo de fuerza de trabajo viva y todo el proceso productivo se realiza de forma manual.

Además, este único bien cumple la función de objeto de trabajo, por lo que una fracción de la producción del ciclo anterior se utiliza como insumo para la obtención del bien en el ciclo productivo actual.

Un ejemplo ilustrativo de este fenómeno es la producción de ciertos bienes agrícolas, como el trigo, donde la obtención de una nueva cosecha exige destinar como semilla una fracción de la producción del ciclo anterior.

Así, una fracción de la producción de este único bien, denotada por $n$, se destina a la obtención del propio bien en calidad de medio de producción.

Si para producir un volumen dado de trigo se requieren $t$ horas de trabajo vivo, entonces el tiempo total de trabajo contenido en dicho volumen será:

$\tau = t + n\tau$.

El primer término, $t$, representa el trabajo vivo empleado directamente en la producción, mientras que el segundo, $n\tau$, representa el trabajo ya contenido en la cantidad del bien utilizada como insumo.

Despejando la ecuación anterior:

$\tau-n\tau = t$,

$(1-n)\tau = t$,

$\tau = \frac{t}{1-n}$.

La ecuación $\tau = t + n\tau$ puede desarrollarse como una serie infinita mediante sustituciones sucesivas de $\tau$ por la propia expresión $t + n\tau$. De este modo se obtiene:

$\tau = t + nt + n^2t + n^3t + \dots$.

Considerando ahora una unidad de volumen o peso hipotética de trigo que requiere una unidad de medida de tiempo $t = 1$ (es decir, normalizando $t$), reescribimos la ecuación como:

$\tau = \frac{1}{1-n}$.

Así, podemos estudiar cómo una unidad de trabajo vivo —aplicada al proceso de producción y condicionada por una estructura productiva dada (que en este caso de extrema simplificación se reduce al escalar $s = \frac{1}{1-n}$)— da como resultado una unidad de producto que contiene $\tau$ unidades de tiempo de trabajo cristalizado en forma de valor.

Veamos entonces a $\tau$ como función de $n$. A continuación se presenta el gráfico de dicha función:

En el eje de las abscisas, $n$ es la porción de bien producido que se destina a servir como insumo u objeto de trabajo y, por lo tanto, no puede ser, en principio, una cantidad negativa en el marco del presente análisis. Por lo tanto, nos interesa únicamente la porción del gráfico anterior correspondiente al rango en el que $n \geq 0$.

Cuando $n = 0$, estaríamos ante el caso límite en el que no interviene ningún medio de producción procedente de procesos productivos anteriores. En consecuencia, $\tau$ sería igual a la unidad, lo que significa que el valor del bien estaría constituido exclusivamente por trabajo presente.

Esta situación puede asociarse a una sociedad recolectora que no desarrolla actividades de cultivo ni reproduce sus medios de producción, sino que obtiene directamente de la naturaleza los bienes que consume. Todo el trabajo contenido en el producto corresponde, entonces, al trabajo vivo empleado en la recolección, sin que exista transferencia alguna de trabajo procedente del pasado.

Cuando nos encontramos ante una situación en la que una proporción creciente de la producción anterior debe ser reinvertida en la producción actual, se produce un incremento de $\tau$ por encima de $t$, lo que refleja una mayor incorporación de trabajo pretérito y, en consecuencia, un aumento del valor.

En el límite, cuando la fracción de trigo destinada a semilla se aproxima a la unidad —es decir, cuando prácticamente toda la producción debe reintegrarse como medio de producción bajo las mismas condiciones de uso de la fuerza de trabajo—, el valor crece sin cota superior, tendiendo al infinito.

En tales condiciones, el sistema económico pierde su consistencia interna, ya que no resulta racional asignar trabajo a un proceso que lo absorbe íntegramente sin generar una cantidad extraíble del bien, dado que toda la producción es reintegrada en el propio ciclo productivo.

Si observamos el gráfico más allá de la asíntota en $n=1$, vemos que $\tau$ toma valores negativos, lo cual no representa un interés práctico inmediato.

También puede observarse que, para $n\geq 1$, la serie infinita deja de converger y, por lo tanto, ya no constituye una representación válida de $\frac{1}{1-n}$.

Así, el rango de interés quedaría limitado a $0 \leq n < 1$, tal como se muestra a continuación:

Pasando al caso general de la relación $\pmb{\tau}=\pmb{t}+\mathbf{N}\pmb{\tau}$, no se expone aquí una demostración de sus condiciones de convergencia, ya que excede el alcance del presente estudio.

Se presentan brevemente primero dichas condiciones para luego concluir con una interpretación económica. También nos apoyaremos en una interpretación geométrica que puede ayudarnos a visualizar el fenómeno.

Reformulemos la relación de forma inversa a como se hizo más arriba para observar ahora que guarda una total analogía con el caso escalar anteriormente mostrado:

$(\mathbf{I}-\mathbf{N})\pmb{\tau}=\pmb{t}$,

$\pmb{\tau}=(\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1}\pmb{t}$

La condición de invertibilidad de $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$ se expresa mediante el radio espectral de $\mathbf{N}$:

$\rho(\mathbf{N})<1$.

Esta condición garantiza que la serie de potencias:

$(\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\mathbf{N}^k$ converge si y solo si $\rho(\mathbf{N})<1$.

En el caso escalar tratado anteriormente, la matriz se reduce a un único valor $n$, y el radio espectral coincide con dicho valor:

$\rho(\mathbf{N})=n$.

La asíntota observada en $n=1$ es la manifestación del punto crítico en el que se viola la condición de convergencia.

En el caso general, $ \rho(\mathbf{N})=1$ puede interpretarse como el borde estructural del sistema económico, no únicamente como un punto de divergencia matemática, sino como una situación límite en la que el proceso de reproducción absorbe íntegramente el tiempo sin dejar posibilidad de extracción de bienes para el consumo directo de los individuos.

En términos formales, esto se corresponde con la pérdida de invertibilidad de $(\mathbf{I}-\mathbf{N})$, cuando $\rho(\mathbf{N}) \geq 1$.

Desde esta perspectiva, el caso $\rho(\mathbf{N})<1$ representa un régimen en el que existe una porción de trabajo que puede ser considerada “extraíble”, en el sentido de que no es absorbida completamente por la reproducción del sistema, permitiendo la existencia de bienes, en primer lugar, en la cantidad necesaria para el consumo de los individuos y su supervivencia, y además, posiblemente, en cantidades adicionales que permiten un margen de acumulación que pueda ser extraído por otros individuos, ajenos al proceso de producción (enajenación de los bienes de sus productores). En cambio, cuando $\rho(\mathbf{N}) \to 1$ ese margen se reduce progresivamente hasta desaparecer.

Es preciso reiterar la importancia de distinguir entre “cantidad extraíble” y “excedente”. La primera hace referencia a la porción de producto o trabajo que no es absorbida por el propio proceso de reproducción técnica, mientras que el excedente se reserva para aquellos bienes que superan las necesidades de reproducción del trabajador y constituyen la base de la acumulación de riqueza, ya sea apropiada por el propio trabajador o por terceros mediante mecanismos de extracción (es decir, la apropiación del producto del trabajo ajeno cuando dicha extracción no revierte en beneficio de los productores, cuestión que será objeto de un estudio aparte).

En consecuencia, el borde $ \rho(\mathbf{N})=1$ no debe interpretarse únicamente como una singularidad matemática, sino como el punto en el que desaparece la posibilidad estructural de una cantidad extraíble positiva: todo el producto se reintegra en el ciclo de producción, impidiendo la formación de bienes consumibles en procesos fuera del proceso de producción.

Para finalizar, se ofrece una interpretación geométrica de la relación $\pmb{\tau}=(\mathbf{I}-\mathbf{N})^{-1}\pmb{t}$ en términos del espectro de $\mathbf{N}$.

Sea $\mathbf{N}\pmb{\alpha}_i=\lambda_i \pmb{\alpha}_i$ una descomposición en autovalores y autovectores. Entonces el vector $\pmb{t}$ puede expresarse como combinación lineal de estos modos: $\pmb{t}=\sum\limits_i c_i \pmb{\alpha}_i$.

Bajo la acción del operador inverso, cada componente proyectada sobre un autovector se amplifica según el factor $\frac{1}{1-\lambda_i}$, de modo que $\pmb{\tau}=\sum\limits_i \frac{c_i}{1-\lambda_i}\pmb{\alpha}_i$.

En esta descomposición, los autovalores cercanos a $1$ actúan como direcciones críticas del sistema, ya que generan una amplificación desproporcionada del tiempo de trabajo contenido.

En particular, cuando existe un autovalor dominante tal que $\lambda_i \to 1$, la proyección de $\pmb{t}$ sobre el autovector asociado provoca un desbordamiento de $\pmb{\tau}$, reflejando la pérdida de estabilidad del sistema económico interpretado como esquema de acumulación finita del trabajo en valor.

Geométricamente, el sistema puede entenderse como una transformación que estira el espacio de bienes a lo largo de ciertas direcciones propias; el borde $ \rho(\mathbf{N})=1$ corresponde al caso en que dicho estiramiento se vuelve no acotado en al menos una dirección, colapsando la noción de acumulación finita del trabajo en valor.

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14 Diferencia entre trabajo total y trabajo directo

Según la fórmula general del valor, $\pmb{\tau}=\pmb{t}+\mathbf{N}\pmb{\tau}$, al vector $\pmb{\tau}$ se llega mediante la suma del vector de tiempos de trabajo presente, $\pmb{t}$, y el vector equivalente a las aportaciones de valor pretérito transferido desde los medios de producción, $\mathbf{N}\pmb{\tau}$. Este último vector representa, por lo tanto, la diferencia entre los vectores $\pmb{\tau}$ y $\pmb{t}$.

Se introduce el vector de valores transferidos $\pmb{\delta}$, tal que:

$\pmb{\delta}=\pmb{\tau}-\pmb{t}=\mathbf{N}\pmb{\tau}$.

Para un bien cualquiera $i$, su correspondiente valor transferido $\delta_i$ se define de la siguiente manera:

$\delta_i=\tau_i-t_i=\sum\limits_{j} N_{ij}\tau_j$.

Para la subdivisión de los bienes en medios de producción y medios de consumo tenemos:

$\pmb{\delta}=[\delta_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{\delta}_p\\\pmb{\delta}_c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb{\tau_p}-\pmb{t_p}\\\pmb{\tau_c}-\pmb{t_c}\end{bmatrix}$,

donde:

$\pmb{\delta}_p=\pmb{\tau}_p-\pmb{t}_p$ es el vector de los valores transferidos de los medios de producción, y
$\pmb{\delta}_c=\pmb{\tau}_c-\pmb{t}_c$ es el vector de los valores transferidos de los medios de consumo.

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Resumen sobre el valor de los bienes

El presente estudio parte de los elementos básicos de un sistema económico, definiendo como su principal componente los bienes en sus distintas facetas. Dichas facetas determinan luego sus funciones dentro del sistema, donde actúan como objetos o medios de trabajo, constituyéndose ambos en medios de producción, por un lado, o bien actuando como medios (bienes) de consumo por otro, materializando estos últimos el objetivo final de la economía: satisfacer las necesidades de los individuos

La conclusión fundamental de este apartado es que, dados por una parte los coeficientes de participación de los bienes, como medios de producción, en el proceso de producción de los bienes en general, y, por otra parte, el tiempo necesario para poner en movimiento los respectivos medios de producción y crear un bien determinado, encontramos una solución única a las medidas de tiempo total necesario para crear un ejemplar de un bien determinado. Esta magnitud le llamamos valor.

Estas primeras relaciones entre los bienes, que determinan el valor de los mismos, son una parte fundamental del sistema económico. Su principal material aglutinante es el trabajo humano — un bien muy especial.

Otras relaciones, precisamente relaciones cuantitativas entre los bienes, son determinantes en el comportamiento del propio sistema. El estudio de dichas relaciones se aborda a continuación.

A modo de ilustración he desarrollado un modelo numérico para visualizar las relaciones de tiempo entre los bienes que finalmente conducen a la definición del valor de cada instancia de los bienes.

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Parte III – Valor de los bienes

Índice y enlace a los contenidos de esta parte:

01 Introducción a los medios de consumo