Parte V – Escasez de la fuerza de trabajo

07 Los individuos trabajadores como principal recurso escaso

Desde la perspectiva de que los individuos trabajadores constituyen el volumen de fuerza de trabajo disponible definimos el correspondiente «volumen de producción» \tilde{v_0} del bien peculiar fuerza de trabajo o mano de obra, expresado en unidades específicas para dicho bien –individuos. Como antes, usamos la tilde en las designaciones para indicar que estamos midiendo la magnitud que representa en individuos.

Al considerarlo como un recurso o bien escaso, el trabajo humano entraría en el sistema de ecuaciones (11) como un medio de producción más. Copio aquí dicha ecuación para estudiarla en perspectiva de la nueva inclusión:
\forall j \epsilon P \left ( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right )

Ahora este sistema consta de p+1 ecuaciones y j recorre todos los enteros desde 0, índice de la mano de obra como medio de producción, hasta el último medio de producción p, incluyéndose así el bien peculiar fuerza de trabajo en el conjunto de medios de producción P.

Por otro lado, el índice i recorre todos los números enteros desde 0 hasta g, incluyendo a la fuerza de trabajo en el conjunto de todos los bienes G. El sistema tiene ahora g+1 incógnitas, y por lo tanto, igual que anteriormente, tantas variables libres como tipos de bienes de consumo: g+1-(p+1)=g-p=c. Así pues se pueden tomar los volúmenes de producción de lo bienes de consumo como las variables libres para así hallar los demás volúmenes de producción , incluyendo ahora el «volumen de producción» de la fuerza de trabajo (\tilde{v_0}), cuantificado en individuos.

En la primera ecuación de este sistema ampliado, en su parte izquierda, se encuentra la incógnita correspondiente al volumen de fuerza de trabajo (\tilde{v_0}). Su parte derecha queda ampliada por un primer término, que también corresponde a la incógnita \tilde{v_0} multiplicada ahora por el coeficiente de participación del bien peculiar fuerza de trabajo en su función de medio de producción de sí misma \tilde{n_{00}}. El resto de términos contiene los volúmenes de todos los otros bienes (tanto medios de producción como bienes de consumo) v_i multiplicados por el correspondiente coeficiente de participación del bien peculiar fuerza de trabajo como medio de producción de dichos bienes \tilde{n_{i0}}:
\tilde{v_0}= \sum\limits_{i=0}^gv_i\tilde{n_{i0}}=\tilde{v_0}\tilde{n_{00}}+\sum\limits_{i=1}^gv_i\tilde{n_{i0}}

Antes de entrar a analizar los coeficientes específicos relacionados con la fuerza de trabajo refresquemos la memoria sobre el significado de los coeficientes de participación de un bien en la producción de otro bien.

De forma general, el coeficiente de participación (n_{ij}) del bien j en su función de medio de producción en el proceso de producción del bien i es la parte de la unidad del bien (medio de producción) j que es necesario desprender de éste para ser adherida a la unidad del bien i para crear este último. Estas partes pueden ser tanto fracciones de la unidad del medio de producción, como múltiples unidades del mismo.

Los coeficientes de participación del bien peculiar fuerza de trabajo en su función de medio de producción de otros bienes, expresados en cantidades de individuos (\tilde{n_{i0}}), corresponden al número de empleados en el proceso de producción del bien i a su vez expresado en la necesidad de incorporación de su fuerza de trabajo, medida en horas, para la creación de la unidad de dicho bien. Pero no de todas las horas, sino de las correspondientes al trabajo vivo o tiempo presente (t_i) en la unidad de cada bien. EL trabajo pretérito no puede entrar en \tilde{n_{i0}} ya que éste juega un papel pasivo en la parte del proceso en que la mano de obra actúa en paralelo a los medios de producción para crear otros bienes. Esas horas contenidas en los medios de producción sólo se transfieren a los nuevos bienes, pero no requieren para ello horas adicionales y por consiguiente de un número de trabajadores a mayores. Es decir, estos coeficientes de participación corresponden a la cantidad de horas (t_i) contenidas en la unidad del bien i, dividida entre la cantidad de horas que aporta un individuo en un período de tiempo fijado como referencia de estudio, que se ha designado p_{eh}:
\tilde{n_{i0}}=\frac{t_i}{p_{eh}}

La fuerza de trabajo, según se ha considerado hasta el momento, se pone en acción para elaborar todos los bienes. Si ahora la misma fuerza de trabajo se considera un bien, cabe plantearse si ésta participa, como medio de producción, en la creación de sí misma como cualquier otro bien. Generalmente, en una sociedad desarrollada, la respuesta a esta pregunta es afirmativa si se consideran los procesos en que unos individuos intervienen directamente, a través de servicios prestados, en la consecución del desarrollo o bienestar de otros individuos. Entre estos servicios algunos directamente contribuyen a generar o mantener la capacidad productiva de los individuos, como por ejemplo los servicios de educación, que desarrollan las habilidades para desarrollar una actividad productiva, o los servicios de salud, que permiten mantener o restablecer la aptitud para el trabajo de un individuo saludable. Tales procesos no se incluyen en el presente estudio en una primera aproximación como procesos creadores de valor y por tanto quedan de momento fuera de las ecuaciones; sí me planteo incorporarlos en el desarrollo posterior del estudio. El coeficiente de participación de los individuos como mano de obra (medio de producción) en la creación de sí misma, por tanto, se toma igual a cero:
\tilde{n_{00}}=0

Con las consideraciones anteriores la ecuación anterior quedaría:
\tilde{v_0}=\frac{1}{p_{eh}}\sum\limits_{i=1}^gv_it_i

Resta considerar cómo quedan las demás ecuaciones del sistema (11).

Cada una de estas ecuaciones, correspondiente al cálculo del volumen del medio de producción j, contiene en su forma ampliada un primer término \tilde{v_0}\tilde{n_{0j}}, que representa la cantidad de uso del medio de producción j en la elaboración del bien «fuerza de trabajo», con índice 0. Los coeficientes de participación en estos términos también se toman iguales a cero:
\tilde{n_{0j}}=0

En general, tanto el supuesto anterior sobre \tilde{n_{00}} como el presente sobre \tilde{n_{0j}} significan que el bien «fuerza de trabajo» no es creado dentro del proceso de producción, sino en un proceso fuera de éste, en el proceso de consumo. Es decir, la mencionada conjugación de ambos ciclos de la economía en uno es, de momento, solo parcial. Cuando se desarrolle el estudio en la dirección de considerar plenamente al individuo como bien, incluyendo el análisis de su creación como tal, se completará esta conjugación. Esto presupone establecer ciertas premisas que se salen del ámbito de la ciencia económica y necesitan consideraciones adecuadas de carácter filosófico.

Ahora paso a representar el sistema de ecuaciones (11) en forma vectorial. Para ello hay que considerar que el vector de los volúmenes de producción \mathring{\tilde{\pmb{v}}} ahora contiene el elemento \tilde{v_0} en el vector de los volúmenes de producción de medios de producción. Es decir tenemos
\mathring{\tilde{\pmb{v}}}=[v_i]_{0 \le g}=\begin{bmatrix}\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}\\\tilde{\pmb{v_c}}\end{bmatrix}
donde
\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}=[v_i]_{0 \le p}=\begin{bmatrix}\tilde{v_0}\\\tilde{\pmb{v_p}}\end{bmatrix}

La matriz de los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de medios de producción (\mathring{\tilde{\pmb{N_p}}}) también se ve ahora ampliada con una primera fila de todos ceros y una nueva columna por la izquierda con los coeficientes \tilde{n_{i0}}=\frac{t_i}{p_{eh}}|1 \le i \le p, que corresponde al vector de tiempos presentes de los medios de producción (\pmb{t_p}) multiplicado por el escalar \frac{1}{p_{eh}}, es decir:
\mathring{\tilde{\pmb{N_p}}}=\begin{bmatrix}0&\pmb{0}\\\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_p}&\pmb{N_p}\end{bmatrix}

Por su parte, la matriz de participación de los medios de producción en la producción de los bienes de consumo (\mathring{\tilde{\pmb{N_c}}}) quedó ahora ampliada al añadir en su parte izquierda la columna con los coeficientes \tilde{n_{i0}}=\frac{t_i}{p_{eh}}|p+1 \le i \le p+c del vector de los tiempos presentes de los bienes de consumo (\pmb{t_c}) escalado por \frac{1}{p_{eh}}, o sea:
\mathring{\tilde{\pmb{N_c}}}=\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}&\pmb{N_c}\end{bmatrix}

Con esto el sistema de ecuaciones (12) en forma vectorial queda así:
\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}=\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}^T\right)^{-1}\pmb{\mathring{\tilde{N_c}}}^T\tilde{\pmb{v_c}}

Como se vió en la parte IV, con el uso de las propiedades de la suma de matrices traspuestas y de la inversa de una matriz traspuesta, se obtiene:
\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}^T\right)^{-1}=\left(\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}\right)^{-1}\right)^T
con lo que el sistema anterior se reescribe así:
\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}=\left(\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}\right)^{-1}\right)^T\pmb{\mathring{\tilde{N_c}}}^T\tilde{\pmb{v_c}}

Antes de proceder a buscar su inversa defino la composición de la matriz \pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}:
\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}=\begin{bmatrix}1&\pmb{0}\\-\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_p}&\pmb{I-N_p}\end{bmatrix}

La inversa de esta matriz se puede calcular con ayuda de la fórmula de la inversa de una matriz de bloques (la demostración no se muestra aquí):
\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}\right)^{-1}=\begin{bmatrix}1&\pmb{0}\\\left(\pmb{I-N_p}\right)^{-1}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_p}&\left(\pmb{I-N_p}\right)^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\pmb{0}\\\pmb{S_p}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_p}&\pmb{S_p}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\pmb{0}\\\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_p}&\pmb{S_p}\end{bmatrix}
y su traspuesta es
\left(\left(\pmb{I-\mathring{\tilde{N_p}}}\right)^{-1}\right)^T=\begin{bmatrix}1&\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_p}^T\\\pmb{0}&\pmb{S_p}^T\end{bmatrix}

Se necesita también trasponer\mathring{\tilde{\pmb{N_c}}}:
\mathring{\tilde{\pmb{N_c}}}^T=\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}&\pmb{N_c}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}^T\\\pmb{N_c}^T\end{bmatrix}

Finalmente se desglosa el sistema de ecuaciones expuesto y se multiplican las matrices:
\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}=\begin{bmatrix}1&\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_p}^T\\\pmb{0}&\pmb{S_p}^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}^T\\\pmb{N_c}^T\end{bmatrix}\tilde{\pmb{v_c}}=\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}^T+\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_p}^T\pmb{N_c}^T\\\pmb{S_p}^T\pmb{N_c}^T\end{bmatrix}\tilde{\pmb{v_c}}

La parte superior de la matriz en el sistema anterior se transforma de la siguiente manera:
\frac{1}{p_{eh}}\pmb{t_c}^T+\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_p}^T\pmb{N_c}^T=\frac{1}{p_{eh}}\left(\pmb{t_c}^T+\pmb{\tau_p}^T\pmb{N_c}^T\right)=\frac{1}{p_{eh}}\left(\pmb{t_c}^T+\left(\pmb{N_c}\pmb{\tau_p}\right)^T\right)=\frac{1}{p_{eh}}\left(\pmb{t_c}+\pmb{N_c}\pmb{\tau_p}\right)^T=\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_c}^T

A su vez, la parte inferior se transforma asi:
\pmb{S_p}^T\pmb{N_c}^T=\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T=\pmb{S_c}^T

Teniendo en cuenta ambas transformaciones el sistema se presenta de la siguiente manera:
\mathring{\tilde{\pmb{v_p}}}=\begin{bmatrix}\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_c}^T\\\pmb{S_c}^T\end{bmatrix}\tilde{\pmb{v_c}}

El vector \tilde{\pmb{v_c}}=N\pmb{v_c} representa los consumos individuales de los bienes de consumo en un período determinado de tiempo tomado como referencia de estudio multiplicados por la población del sistema. Anteriormente se mencionó que es conveniente tomar sus componentes como las variables libres del sistema y por tanto asumir sus valores magnitudes observables de un sistema económico dado. Por tanto, el sistema puede considerarse resuelto en función de dichas variables libres.

Su parte inferior corresponde con la siguiente expresión:
\tilde{\pmb{v_p}}=N\pmb{v_p}=\pmb{S_c}^T\tilde{\pmb{v_c}}=\pmb{S_c}^TN\pmb{v_c}
que dividiendo ambos lados por N queda
\pmb{v_p}=\pmb{S_c}^T\pmb{v_c}
lo que coincide con el resultado obtenido en la parte anterior sobre la escasez de los bienes y la relación existente entre volúmenes de producción de bienes de consumo y medios de producción.

La parte superior es sólo una fila y corresponde a la expresión:
\tilde{v_0}=\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_c}^T\tilde{\pmb{v_c}}=\frac{1}{p_{eh}}\pmb{\tau_c}^TN\pmb{v_c}=\frac{Nsum\left(\pmb{\tau_c}\odot\pmb{v_c}\right)}{p_{eh}}=\frac{Nsum\left(\pmb{\omega_c}\right)}{p_{eh}}=\frac{N\Omega_c}{p_{eh}}
en la interpretación del significado de la cual merece la pena detenerse.

El vector \pmb{\tau_c} consta de los tiempos totales contenidos en la unidad de los bienes de consumo, es decir su valor-trabajo. Cuanto se multiplican elemento a elemento los componentes de este vector con los de \pmb{v_c}, y se suman todos los resultados, se obtiene el valor total de todos los bienes de consumo producidos y consumidos por un individuo en un período de estudio.

Por otro lado, en un sistema económico de reproducción simple en que, además, la capacidad productiva de un individuo, representada en su fondo laboral en horas (p_{eh}) es aprovechada completamente de una manera efectiva, ésta cantidad de horas queda invertida en bienes y cristalizaba en los mismos en forma de valor. Por tanto este fondo laboral completamente aplicado es igual al consumo de horas por un individuo en la creación de bienes (k_0) Así pues, ya que el consumo es igualitario, un individuo ve realizadas estas horas de trabajo exactamente en la cantidad de bienes que corresponden a su consumo individual en el periodo dado (\Omega_c).

En definitivas:
p_{eh}=k_0=\Omega_c
lo que me permite concluir:
\tilde{v_0}=N

Es el resultado que cabe esperar una vez que se tomen como datos de partida los volúmenes de consumo individual en el período dado multiplicados por la población.

El resultado es reducible al sistema económico ya mencionado en que N=1, donde tendríamos:
\tilde{v_0}=v_0=1

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