Voy a ofrecer una interpretación de la relación fundamental del valor de los bienes en función del trabajo invertido en ellos, tal como se expresa matricialmente en mi trabajo.
Esta publicación tiene un carácter puramente teórico y no busca vincularse con ninguna corriente o tendencia del convulso mundo contemporáneo. Es una exposición de hechos observables sobre los que he intentado proyectar una mirada profunda y objetiva.
Se trata, esencialmente, de una propuesta de representación matemática moderna de la teoría del valor de Marx.
El elemento central de la teoría económica de Karl Marx es el trabajo humano como fuente de creación de valor y como esencia misma del valor condensado en los bienes.
Aquí expreso el origen del valor de forma sintetizada, haciendo uso de las posibilidades que brinda el álgebra lineal.
Marx desarrolló su teoría económica aplicada al capitalismo naciente y, por tanto, su mirada estaba centrada en la expresión del valor de los bienes dentro de esas condiciones históricas concretas.
Sin embargo, ello no impide concebir el valor como una realidad más atemporal y fundamental. Aunque existan manifestaciones específicas en el marco de un modo de producción determinado o de una civilización dada, en este trabajo busco una esencia más universal del valor, que se mantiene a lo largo de las distintas etapas del desarrollo de las civilizaciones.
Mi propósito se alcanzaría si, en lugar de diluir las especificidades de la manifestación del valor en una sociedad determinada, contribuyera, por el contrario, a explicar y comprender mejor la estructura y el devenir de dicha sociedad, así como a interpretar esas manifestaciones en armonía con la esencia invariable del fenómeno.
Parto aquí de la expresión matricial del valor de los bienes:
$\pmb{\tau} = \pmb{St}$
donde:
- $\pmb{\tau}$ es el vector de los valores de los bienes.
- $\pmb{t}$ es el vector del trabajo presente (trabajo vivo) que es necesario ejecutar para crear una unidad de un bien.
- $\pmb{S}$ es la matriz estructural de la producción.
Su denominación como matriz estructural se debe a que actúa como una función que procesa la entrada del sistema —el vector $\pmb{t}$— y la transforma en el vector $\pmb{\tau}$. Constituye, por tanto, una caracterización de la estructura técnica del sistema de producción, cuya manifestación se refleja en la magnitud final que adopta el vector $\pmb{\tau}$.
Esta estructura interna de la maquinaria creadora de valor constituye precisamente su segundo componente imprescindible: la manifestación de las fuerzas de la naturaleza tal como han sido asimiladas por la sociedad en un momento determinado de su desarrollo histórico y puestas a su servicio en forma de medios de producción de los bienes con los que satisface sus necesidades.
Si consideramos, desde una interpretación geométrica, que $ \pmb{t}$ define un espacio vectorial de tiempos de trabajo presentes asociados a los bienes, entonces $\pmb{S}$ representa una transformación lineal desde el espacio de los tiempos presentes hacia el espacio de los tiempos totales, equivalentes, por definición, al valor de los bienes.
Profundizaré entonces en el sentido de esta transformación.
La matriz estructural $\pmb{S}$ tiene una relación directa con la matriz de coeficientes técnicos $\pmb{N}$. En economía, esta última matriz recibe el nombre de matriz de Leontief.
$\pmb{S}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}$
El orden de dimensión tanto de $\pmb{S}$ como de $\pmb{N}$ corresponde a la cantidad de tipos de bienes, $g$, en que se descomponen los bienes según una clasificación adoptada para ellos.
Habitualmente $\pmb{N}$ se presenta como el conjunto de las cantidades del producto de cada sector de la producción que entran como insumos necesarios en los demás sectores para así desarrollar sus respectivos procesos productivos.
En mi investigación, la matriz $\pmb{N}$ se construye a partir de filas —una por cada bien— de coeficientes técnicos, o, como prefiero denominarlos, coeficientes de participación, que corresponden, en sus respectivas columnas, a los bienes en su papel de medios de producción. En la forma más general de ambas matrices, se asume que todo bien puede desempeñar, en un momento determinado, el papel de medio de producción o, como se le conoce comúnmente, de insumo.
Destaco el carácter individualizado del desglose de factores de producción, pues me refiero a bienes en lugar de sectores. Esto no impide desplazar los límites de clasificación de los bienes hacia cotas más agregadas o, por el contrario, hacia un mayor grado de detalle, en función del objetivo del estudio.
Un aspecto crucial de este trabajo es que los bienes se comparan entre sí en función de la cantidad de trabajo que contienen. Esto permite expresar las cantidades de bienes no en magnitudes monetarias, sino en términos de una magnitud tangible y mucho más vinculada a su base material: el trabajo.
Las fuentes de la ciencia económica contemporánea, al relacionar comúnmente el trabajo de Wassily Leontief con el análisis de los procesos de insumo-producto, han insinuado en ocasiones una relación con la teoría del valor de Karl Marx, pero no parece haberse desarrollado plenamente una teoría del valor en la forma matricial aquí presentada.
Una cita del propio Leontief parece dejar clara su posición: “La teoría económica busca explicar los aspectos materiales y el funcionamiento de nuestra sociedad en términos de interacciones entre variables tales como la oferta y la demanda, o los salarios y los precios.”1 (Leontief, 1986).
No parece contemplarse aquí el trabajo como fuente creadora de valor, sino, acaso, únicamente como un insumo más. Esto resulta característico de la teoría económica no marxista, que analiza los procesos económicos desde una perspectiva funcional y práctica, sin profundizar en la esencia del valor. En realidad, no ha necesitado hacerlo, y debe reconocerse que ha contribuido de manera muy exitosa al desarrollo industrial.
Al volver nuestra mirada a la matriz estructural, vemos que su representación —que involucra la inversa de la suma de dos matrices— ofrece escasos elementos para interpretar el sentido de su estructura.
La situación es mucho más favorable para una interpretación de la relación anterior si la representamos como una descomposición que nos ofrece el álgebra lineal2:
$\pmb{S}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}=\pmb{I}+\pmb{N}+\pmb{N}^2+\pmb{N}^3\cdots$
La serie con las potencias de una matriz se conoce por serie de Neumann y es una versión matricial de la serie geométrica $1+n+n^2+\cdots$
Más adelantes volveremos a las condiciones en que esta de serie converge, lo que es equivalente a la existencia de la inversa de $\pmb{I} – \pmb{N}$ y, a su vez, de la existencia de la matriz estructural $\pmb{S}$.
Recordemos la expresión matricial del valor de los bienes, considerando ahora la descomposición de la matriz estructural:
$\pmb{\tau}=\pmb{S}\pmb{t}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}\pmb{t}=(\pmb{I}+\pmb{N}+\pmb{N}^2+\pmb{N}^3\cdots)\pmb{t}$
Aplicando la propiedad distributiva para matrices tenemos:
$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{t}+\pmb{N}^2\pmb{t}+\pmb{N}^3\pmb{t}\cdots$
Si esta suma converge estamos ante sucesivas aproximaciones del valor de los bienes.
Esta sucesión parte del trabajo vivo aportado directamente a los bienes, es decir la primera aproximación al vector de valores de los bienes es el vector de trabajo vivo:
$\pmb{\tau}\approx\pmb{t}$
A partir de aquí voy a presentar dos maneras en que esta sucesión nos acerca a los valores de los bienes.
Desglose del sistema para un bien determinado.
Para un bien $i$ su valor en la primera aproximación sería:
$\tau_i\approx t_i$
El siguiente término de la aproximación —dentro de $ \pmb{N}\pmb{t}$— se obtiene del producto escalar del vector fila $i$ de la matriz $\pmb{N}$ y el vector $\pmb{t}$. Esta cantidad corresponde ahora al trabajo vivo de las partes de una unidad de los medios de producción que participan directamente, es decir, de manera presencial, en la elaboración del bien $i$.
$\tau_i\approx t_i + n_{i1} t_1 + n_{i2} t_2 + \cdots + n_{ij} t_j + \cdots + n_{ig} t_g$
Cada término $n_{ij}$ representa porciones materiales del medio de producción $j$ que se «transfieren» al bien $i$ en su proceso de producción.
Esto constituye la segunda aproximación de $\tau_i$. Sería su valor definitivo si en cada término $n_{ij}t_j$ figurara el valor total de las partes transferidas, es decir, si tuviésemos $\tau_j$ en lugar de $t_j$. En otras palabras, estos términos aparecen aún en su primera aproximación.
Para buscar la tercera aproximación de $\tau_i$, tendríamos que expresar cada porción de valor $n_{ij}\tau_j$ de los medios de producción en su segunda aproximación:
$n_{ij}\tau_j \approx n_{ij}( t_j + n_{j1} t_1 + n_{j2} t_2 + \cdots + n_{ji} t_i + \cdots + n_{jg} t_g)$
Si sustituimos cada uno de los términos $n_{ij}t_j$ de la expresión correspondiente a la primera aproximación de $\tau_i$ por su segunda aproximación, obtenemos:
$\tau_i\approx \\ t_i + \\ n_{i1}( t_1 + n_{11} t_1 + n_{12} t_2 + \cdots + n_{1i} t_i + \cdots + n_{1g} t_g) + \\ n_{i2}( t_2 + n_{21} t_1 + n_{22} t_2 + \cdots + n_{2i} t_i + \cdots + n_{2g} t_g) + \\ \cdots + \\ n_{ii}( t_i + n_{i1} t_1 + n_{i2} t_2 + \cdots + n_{ii} t_i + \cdots + n_{ig} t_g) + \\ \cdots + \\ n_{ig}( t_g + n_{g1} t_1 + n_{g2} t_2 + \cdots + n_{gi} t_i + \cdots + n_{gg} t_g)$
Reagrupando términos podemos segregar la parte que corresponde a la segunda aproximación de la tercera:
$\tau_i\approx t_i + n_{i1} t_1 + n_{i2} t_2 + \cdots + n_{ii} t_i + \cdots + n_{ig} t_g + \\ n_{i1}(n_{11} t_1 + n_{12} t_2 + \cdots + n_{1i} t_i + \cdots + n_{1g} t_g) + \\ n_{i2}(n_{21} t_1 + n_{22} t_2 + \cdots + n_{2i} t_i + \cdots + n_{2g} t_g) + \\ \cdots + \\ n_{ii}(n_{i1} t_1 + n_{i2} t_2 + \cdots + n_{ii} t_i + \cdots + n_{ig} t_g) + \\ \cdots + \\ n_{ig}(n_{g1} t_1 + n_{g2} t_2 + \cdots + n_{gi} t_i + \cdots + n_{gg} t_g)$
Si también reagrupamos los términos que corresponden a cada uno de los elementos del vector $\pmb{t}$:
$\tau_i\approx t_i + n_{i1} t_1 + n_{i2} t_2 + \cdots + n_{ii} t_i + \cdots + n_{ig} t_g + \\ (n_{i1}n_{11} + n_{i2}n_{21} + \cdots + n_{ii}n_{i1} + \cdots + n_{ig}n_{g1})t_1 + \\ (n_{i1}n_{12} + n_{i2}n_{22} + \cdots + n_{ii}n_{i2} + \cdots + n_{ig}n_{g2})t_2 + \\ \cdots + \\ (n_{i1}n_{1i} + n_{i2}n_{2i} + \cdots + n_{ii}n_{ii} + \cdots + n_{ig}n_{gi})t_i + \\ \cdots + \\ (n_{i1}n_{1g} + n_{i2}n_{2g} + \cdots + n_{ii}n_{ig} + \cdots + n_{ig}n_{gg})t_g$
Se puede observar que las sumas entre paréntesis representan los elementos de la fila $i$ de la matriz $\pmb{N}$ multiplicada por sí misma, es decir, de $\pmb{N}^2$.
Así estaríamos ante el segundo término de aproximación de $\tau_i$, que ahora corresponde a las transferencias de trabajo vivo de los medios de producción de segundo orden, es decir, de aquellos que participaron en la elaboración de los medios de producción directos del bien $i$, y están contenidos en $\pmb{N}^2\pmb{t}$
Este proceso, extendido indefinidamente, arrojaría, si converge, el valor exacto de $\tau_i$.
Evidentemente, continuar con el método anterior resulta innecesariamente arduo, ya que existe una forma más sencilla de tratarlo.
Forma vectorial
De nuevo partimos de la fórmula del valor de los bienes:
$\pmb{\tau}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}\pmb{t}$
Multiplicamos ambos lados por $\pmb{I}-\pmb{N}$:
$(\pmb{I}-\pmb{N})\pmb{\tau}=(\pmb{I}-\pmb{N})(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}\pmb{t}$
Distribuyendo por el lado izquierdo y efectuando el producto de matrices por el derecho, obtenemos:
$\pmb{\tau}-\pmb{N}\pmb{\tau}=\pmb{t}$
Ahora, sumando $ \pmb{N}\pmb{\tau}$ a ambos lados, llegamos finalmente a:
$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{\tau}$
El vector $\pmb{\tau}$, que representa los tiempos totales o valores de los bienes, aparece ahora en ambos lados de la ecuación.
En principio, estas dos apariciones no son idénticas en su significado económico: el vector del lado izquierdo representa el valor de los bienes producidos en el presente, mientras que el del lado derecho corresponde al valor de los bienes que intervienen en la producción actual como medios de producción y que, por tanto, fueron elaborados en ciclos productivos anteriores.
Las condiciones de producción pueden haber cambiado entre ambos momentos, de modo que estas dos apariciones del vector $\pmb{\tau}$ podrían, en rigor, representar magnitudes distintas.
Aquí aplicamos un principio fundamental de la economía: considerar el valor de los bienes, independientemente del momento en que hayan sido producidos, según las condiciones técnicas de producción vigentes en el presente. A esto lo llamaremos principio de actualización del valor de los bienes3.
Teniendo en cuenta este principio podemos tomar $\pmb{\tau}$ de ambos lados como la misma magnitud, por lo que sustituimos su representante a la derecha por el desglose del mismo lado:
$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}(\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{\tau})$
Distribuyendo por la derecha:
$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{t}+\pmb{N}^2\pmb{\tau}$
Si repetimos el proceso consecutivamente $k$ veces obtenemos:
$\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{t}+\pmb{N}^2\pmb{t}+\pmb{N}^3\pmb{t}\cdots+\pmb{N}^k\pmb{\tau}$
La condición de convergencia es equivalente a la extinción del último término, que contiene $\pmb{\tau}$, es decir si
$\lim_{k \to \infty}\pmb{N}^k\pmb{\tau}=\pmb{0}$
Como $\pmb{\tau}$ no es el vector cero por definición, esta condición es equivalente a que todos los elementos de la potencia $k$ de la matriz $\pmb{N}$ tiendan a cero cuando $k$ tiende al infinito.
$\lim_{k \to \infty}\pmb{N}^k=\pmb{0}$
Así vemos cómo las distintas partes del propio vector $\pmb{\tau}$, encarnadas materialmente en los elementos de la matriz $\pmb{N}$ como valor —es decir, como tiempo de trabajo pretérito— de los medios de producción, se reincorporan al valor resultante de la producción actual.
Con la extinción del componente de $\pmb{\tau}$ situado a la derecha, observamos cómo los tiempos de trabajo que en otro momento fueron trabajo presente en la elaboración de bienes en el pasado quedaron plasmados en dichos bienes, para reaparecer posteriormente en los bienes producidos en nuevos procesos productivos, donde aquellos funcionan como medios de producción.
Condiciones de convergencia del sistema de ecuaciones
Antes de analizar las condiciones de convergencia de la descomposición de la inversa de $\pmb{I-N}$ en una serie de potencias de $\pmb{N}$, presentaré la relación entre $\pmb{\tau}$ y $\pmb{t}$ de la forma más sencilla posible.
Imaginemos una economía hipotética extremadamente simple en la que se produce un único bien —trigo— sin la ayuda de ningún medio de trabajo. Es decir, todo el proceso productivo se realiza manualmente.
Este único bien cumple además la función de objeto de trabajo, ya que una parte de la producción se utiliza como semilla para la obtención de nuevas cosechas de trigo.
Así, una fracción de la producción de trigo, que denotaremos por $n$, se destina a la producción del propio trigo como medio de producción.
Si para producir un volumen dado de trigo se requieren $t$ horas de trabajo vivo, entonces el tiempo total de trabajo contenido en dicho volumen será:
$\tau=t+n\tau$
El primer término, $t$, representa el trabajo vivo empleado directamente en la producción, mientras que el segundo, $n\tau$, representa el trabajo ya contenido en la cantidad de trigo utilizada como semilla.
Despejando la última ecuación:
$\tau-n\tau=t$
$(1-n)\tau=t$
$\tau=\frac{t}{1-n}$
La ecuación $\tau=t+n\tau$ puede desarrollarse como una serie infinita mediante sustituciones sucesivas de $\tau$ por la expresión $t+n\tau$. De este modo se obtiene:
$\tau=t+nt+n^2t+n^3t+\cdots$
Considerando ahora una unidad de volumen o peso hipotética de trigo que requiere una unidad de medida de tiempo $t=1$, es decir, normalizando $t$, reescribimos la ecuación:
$\tau=\frac{1}{1-n}$
Así podemos estudiar la relación entre una unidad de trabajo vivo que, aplicado al proceso de producción de trigo y condicionado por una estructura de producción dada, que en este caso de extrema simplificación degenera en $s= \frac{1}{1-n}$, resulta en una unidad de producto que contiene $ \tau$ unidades de tiempo cristalizados en ella en forma de su valor.
Veamos entonces a $\tau$ como función de $n$. A continuación se presenta el gráfico de dicha función para todo el dominio real de $n$.
En el eje de las abscisas $n$ es la porción de trigo que se destina a semilla y, por lo tanto, no puede ser, en principio, una cantidad negativa en el marco del presente análisis. Por lo tanto, nos interesa únicamente la porción del gráfico anterior correspondiente al rango en el que $n\geq 0$.
Cuando $n=0$, estaríamos ante el caso límite en el que no interviene ningún medio de producción procedente de procesos productivos anteriores. En consecuencia, $\tau$ sería igual a la unidad, lo que significa que el valor del bien estaría constituido exclusivamente por trabajo presente.
Esta situación puede asociarse a una sociedad recolectora que no desarrolla actividades de cultivo ni reproduce sus medios de producción, sino que obtiene directamente de la naturaleza los bienes que consume. Todo el trabajo contenido en el producto corresponde entonces al trabajo vivo empleado en la recolección, sin que exista transferencia alguna de trabajo procedente del pasado.
Cuando nos encontramos ante una situación en la que una proporción creciente de la producción anterior debe ser reinvertida en la producción actual, se produce un incremento de $\tau$ por encima de $t$, lo que refleja una mayor incorporación de trabajo pretérito y, en consecuencia, un aumento del valor.
En el límite, cuando la fracción de trigo destinada a semilla se aproxima a la unidad —es decir, cuando prácticamente toda la producción debe reintegrarse como medio de producción bajo las mismas condiciones de uso de la fuerza de trabajo—, el valor crece sin cota superior, tendiendo al infinito.
En tales condiciones, el sistema económico pierde su consistencia interna, ya que no resulta racional asignar trabajo a un proceso que lo absorbe íntegramente sin generar una cantidad extraíble del bien, dado que toda la producción es reintegrada en el propio ciclo productivo.
Si observamos el gráfico más allá de la asíntota en $n=1$, vemos que $\tau$ toma valores negativos, lo cual no representa un interés práctico inmediato.
También puede observarse que, para $n\geq 1$, la serie infinita deja de converger y, por lo tanto, ya no constituye una representación válida de $\frac{1}{1-n}$.
Así, el rango de interés quedaría limitado a $0 \leq n < 1$, tal como se muestra a continuación.
Pasando al caso general de la relación $\pmb{\tau}=\pmb{t}+\pmb{N}\pmb{\tau}$, no presentaré una demostración de sus condiciones de convergencia, ya que excede el alcance del presente estudio.
Me limitaré primero a exponer brevemente dichas condiciones para luego concluir con una interpretación económica. También me apoyaré en en una interpretación geométrica que espero ayude a visualizar el problema.
Reformulo la relación de forma inversa a como se hizo ya más arriba para ahora observar que guarda total analogía con el caso escalar anteriormente mostrado:
$(\pmb{I}-\pmb{N})\pmb{\tau}=\pmb{t}$
$\pmb{\tau}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}\pmb{t}$
La condición de invertibilidad de $\pmb{I}-\pmb{N}$ se expresa mediante el radio espectral de $\pmb{N}$:
$\rho(\pmb{N})<1$
Esta condición garantiza que la serie de potencias converge:
$(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\pmb{N}^k, \quad \text{si y solo si } \rho(\pmb{N})<1.$
En el caso escalar tratado anteriormente, la matriz se reduce a un único valor $n$, y el radio espectral coincide con dicho valor:
$\rho(\pmb{N})=n$
La asíntota observada en $n=1$ es la manifestación del punto crítico en el que se viola la condición de convergencia.
En el caso general, $ \rho(\pmb{N})=1$ puede interpretarse como el borde estructural del sistema económico, no únicamente como un punto de divergencia matemática, sino como una situación límite en la que el proceso de reproducción absorbe íntegramente el tiempo sin dejar posibilidad de extracción de bienes para el consumo directo de los individuos.
En términos formales, esto se corresponde con la pérdida de invertibilidad de $\pmb{I}-\pmb{N}$, cuando $\rho(\pmb{N}) \geq 1$.
Desde esta perspectiva, el caso $\rho(\pmb{N})<1$ representa un régimen en el que existe una porción de trabajo que puede ser considerada “extraíble”, en el sentido de que no es absorbida completamente por la reproducción del sistema, permitiendo la existencia de bienes, en primer lugar, en la cantidad necesaria para el consumo de los individuos y su supervivencia, y además, posiblemente, en cantidades adicionales que permiten un margen de acumulación que pueda ser extraído por otros individuos, ajenos al proceso de producción (enajenación de los bienes de sus productores). En cambio, cuando $\rho(\pmb{N}) \to 1$ ese margen se reduce progresivamente hasta desaparecer.
Me permito reiterar la importancia de distinguir entre “cantidad extraíble” y “excedente”. La primera hace referencia a la porción de producto o trabajo que no es absorbida por el propio proceso de reproducción técnica, mientras que el excedente se reserva para aquellos bienes que superan las necesidades de reproducción del trabajador y constituyen la base de la acumulación de riqueza, ya sea apropiada por el propio trabajador o por terceros mediante mecanismos de extracción (es decir, la apropiación del producto del trabajo ajeno cuando dicha extracción no revierte en beneficio de los productores, cuestión que será objeto de un estudio aparte).
En consecuencia, el borde $ \rho(\pmb{N})=1$ no debe interpretarse únicamente como una singularidad matemática, sino como el punto en el que desaparece la posibilidad estructural de una cantidad extraíble positiva: todo el producto se reintegra en el ciclo de producción, impidiendo la formación de bienes consumibles en procesos fuera del proceso de producción.
Para finalizar, se ofrece una interpretación geométrica de la relación $\pmb{\tau}=(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1}\pmb{t}$ en términos del espectro de $\pmb{N}$.
Sea $\pmb{N}\pmb{\alpha}_i=\lambda_i \pmb{\alpha}_i$ una descomposición en autovalores y autovectores. Entonces el vector $\pmb{t}$ puede expresarse como combinación lineal de estos modos: $\pmb{t}=\sum_i c_i \pmb{\alpha}_i$.
Bajo la acción del operador inverso, cada componente proyectada sobre un autovector se amplifica según el factor $\frac{1}{1-\lambda_i}$, de modo que $\pmb{\tau}=\sum_i \frac{c_i}{1-\lambda_i}\pmb{\alpha}_i$.
En esta descomposición, los autovalores cercanos a 1 actúan como direcciones críticas del sistema, ya que generan una amplificación desproporcionada del tiempo de trabajo contenido.
En particular, cuando existe un autovalor dominante tal que $\lambda_i \to 1$, la proyección de $\pmb{t}$ sobre el autovector asociado provoca un desbordamiento de $\pmb{\tau}$, reflejando la pérdida de estabilidad del sistema económico interpretado como esquema de acumulación finita del trabajo en valor.
Geométricamente, el sistema puede entenderse como una transformación que estira el espacio de bienes a lo largo de ciertas direcciones propias; el borde $ \rho(\pmb{N})=1$ corresponde al caso en que dicho estiramiento se vuelve no acotado en al menos una dirección, colapsando la noción de acumulación finita del trabajo en valor.
- Versión original en inglés: “Economic theory seeks to explain the material aspects and operations of our society in terms of interactions among such variables as supply and demand or wages and prices.” ↩︎
- Esta equivalencia se verifica de la siguiente manera:
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $\pmb{I}-\pmb{N}$:
$(\pmb{I}-\pmb{N})(\pmb{I}-\pmb{N})^{-1} = (\pmb{I}-\pmb{N})(\pmb{I}+\pmb{N}+\pmb{N}^2+\pmb{N}^3\cdots)$.
En el lado izquierdo obtenemos la matriz identidad.
En el lado derecho, al distribuir, resulta:
$\pmb{I}+\pmb{N}+\pmb{N}^2+\pmb{N}^3\cdots – \pmb{N}-\pmb{N}^2-\pmb{N}^3\cdots$,
donde todo se cancela, quedando únicamente $\pmb{I}$. ↩︎ - Estrictamente hablando, hay que señalar que las variaciones temporales de los elementos de $\pmb{\tau}$ constituyen manifestaciones emergentes de los cambios en lo que podríamos denominar los factores elementales del sistema de producción, $n_{ij}t_j$, cuya relación con $ \pmb{\tau}$ se puso de manifiesto durante la exposición del primer método de aproximación a su valor. ↩︎
Referencias
Wassily Leontief, Input-Output Economics, 2.ª edición, Oxford University Press, New York/Oxford, 1986.
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