05 Presentación general particular
Mantengo esta parte para dejar constancia de las dificultades que encontré al intentar generalizar el sistema de ecuaciones y expresarlo mediante una matriz de participación $\pmb{N}$, en la que todos los bienes pudieran desempeñar ambas funciones: la de medios de producción y la de medios de consumo. En mi empeño por hacer aparecer aquí
$\pmb{N}^T=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0}\\\pmb{N_c}&\pmb{0}\end{bmatrix}^T$,
tal como esperaba por analogía con la sección anterior dedicada al valor de los bienes, no advertí que estaba introduciendo un error en la formulación de las ecuaciones. Dicho error consistía en que, por una parte, buscaba los volúmenes de los bienes en su función de medios de producción, mientras que, por otra, seguía manteniendo la premisa general de que los bienes de consumo no participan en el proceso productivo como medios de producción.
La solución provisional consistió en añadir un anexo explicando este error, anexo que todavía conservo, aunque tengo previsto eliminarlo en la versión final e incorporar su contenido al cuerpo principal del texto. He decidido mantener aquí esta parte porque refleja el proceso seguido y las dificultades encontradas, aun cuando posteriormente conseguí «cuadrar» la matriz mediante unas ecuaciones triviales que, si bien son correctas, no aportan contenido analítico alguno, como puede apreciarse en el resultado final.
Para plantear el sistema en su forma matricial general, debe tenerse en cuenta que el sistema $(11)$ involucra una matriz rectangular de $p$ filas y $g$ columnas.
Esto se debe a que, hasta este punto, se ha supuesto que el conjunto de bienes que constituyen los medios de consumo no participa en el proceso productivo como medio de producción.
Más adelante retomaré el análisis del caso general, pero por el momento mantendré las hipótesis consideradas hasta aquí.
Para completar el sistema y tener una matriz cuadrada hay que completar las filas que faltan con los volúmenes de producción de las variables libres. Es decir, el sistema completo sería:
$\begin{cases}\forall j \epsilon P \left ( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right ) \\ \\ \forall j \epsilon C \left ( v_j= v_j \right ) \end{cases}$
Ahora lo representamos en forma matricial con ayuda del vector unificado de los volúmenes $\pmb{v}=\begin{bmatrix}\pmb{v_p}\\\pmb{v_c}\end{bmatrix}$ y de las matrices de coeficientes de participación $\pmb{N_p}$ y $\pmb{N_c}$. Así tenemos2:
$\pmb{v}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}&\pmb{0}\\\pmb{N_c}&\pmb{I}\end{bmatrix}^T\pmb{v}=\begin{bmatrix}\pmb{N_p}^T&\pmb{N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{I}\end{bmatrix}\pmb{v}$
Unificando todos los términos con los volúmenes en la parte izquierda del sistema:
$\pmb{v}-\begin{bmatrix}\pmb{N_p}^T&\pmb{N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{I} \end{bmatrix}\pmb{v}=\pmb{0}$
Esto es equivalente a:
$\left(\pmb{I}-\begin{bmatrix}\pmb{N_p}^T&\pmb{N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{I}\end{bmatrix}\right)\pmb{v}=\pmb{I}$
O también:
$\begin{bmatrix}\pmb{I-N_p}^T&\pmb{-N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{0} \end{bmatrix}\pmb{v}=\pmb{0}$
Y finalmente:
$\begin{bmatrix}\pmb{I-N_p}^T&\pmb{-N_c}^T\\\pmb{0}&\pmb{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb{v_p}\\\pmb{v_c}\end{bmatrix}=\pmb{0}$
La multiplicación de la primera fila de matrices con el vector de los volúmenes de producción es equivalente a $(12)$:
$\left(\pmb{I-N_p}^T\right)\pmb{v_p}-\pmb{N_c}^T \pmb{v_c}=\pmb{0}$
La segunda fila nos da
$\pmb{0}=\pmb{0}$