Parte IV – Escasez de los bienes

04 Relaciones de cantidad entre los bienes

En los dos apartados anteriores se introdujeron las relaciones de cantidad entre los bienes dictadas por la necesidad de incorporar a ellos en el proceso de su creación los elementos materiales componentes de los mismos, o objetos de trabajo por un lado, y la necesidad de recurrir por el otro a la ayuda en el mismo proceso de variadas herramientas, o medios de trabajo. Ahora aunamos en un único sistema de relaciones cuantitativas entre los bienes las relaciones establecidas en ambos apartados. Estas relaciones vienen determinadas por la necesidad de utilizar medios de producción en los distintos procesos de creación de los bienes.

Utilizando los coeficientes de participación n_{ij} para los medios de producción obtenemos finalmente:
\forall j \epsilon P \left ( v_j= \sum\limits_{g}v_i n_{ij} \right )\qquad(11)
Esto constituye un sistema lineal de p ecuaciones con g incógnitas. El número de incógnitas, es decir los volúmenes de producción de todos los bienes, es mayor que el número de ecuaciones, igual al número de medios de producción, por lo que el sistema, en caso de tener solución, tendría un número infinito de ellas.

Para expresarlo en forma matricial introducimos el vector de los volúmenes de producción durante un período dado de todos los bienes
\pmb{v}=[v_i]_{i \le g}=\begin{bmatrix}\pmb{v_p}\\\pmb{v_c}\end{bmatrix}
Este vector está formado por dos partes. La superior, constituida por p elementos, es el vector de los volúmenes de producción de los medios de producción
\pmb{v_p}=[v_i]_{i \le p}
La parte inferior, correspondiente a c elementos de los volúmenes de producción de los medios de consumo, forman el correspondiente vector
\pmb{v_c}=[v_i]_{p+1 \le i \le p+c}

El sistema de ecuaciones (11), con ayuda de estos vectores y de las introducidas anteriormente matrices de los coeficientes de participación de los medios de producción en la producción de los medios de producción \pmb{N_p} y de los medios de consumo \pmb{N_c}, se expresa de la siguiente manera:
\pmb{v_p}=\pmb{{N_p}}^T \pmb{v_p}+\pmb{{N_c}}^T \pmb{v_c}
Unificando la multiplicación del vector \pmb{v_p} con la matriz unidad y \pmb{{N_p}}^T tenemos:
\left(\pmb{I-{N_p}}^T\right)\pmb{v_p}=\pmb{{N_c}}^T \pmb{v_c}
Liberando el vector \pmb{v_p} finalmente obtenemos:
\pmb{v_p}=\left(\pmb{I-N_p}^T\right)^{-1}\pmb{N_c}^T \pmb{v_c}\qquad(12)

Haremos algunas transformaciones de la matriz \left(\pmb{I-N_p}^T\right)^{-1}
Aplicando la propiedad de que la suma de las transpuestas es la traspuesta de la suma dicha matriz se reescribe asi:
\left(\left(\pmb{I-N_p}\right)^T\right)^{-1}
Ahora aplicamos la propiedad de que la inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa y tenemos:
\left(\left(\pmb{I-N_p}\right)^{-1}\right)^T

La última expresión corresponde a la traspuesta de la matriz estructural de producción de medios de producción \pmb{S_p}^T. Con esto (12) se representa así:
\pmb{v_p}=\pmb{S_p}^T \pmb{N_c}^T \pmb{v_c}\qquad(12')
Por último, aplicando la propiedad de que la multiplicación de las traspuestas de dos matrices es la traspuesta de la matriz resultante de multiplicar las matrices en orden inverso, tenemos
\pmb{v_p}=\left(\pmb{N_c}\pmb{S_p}\right)^T\pmb{v_c}\qquad(12'')
La matriz que multiplica el vector de los volúmenes de producción de los bienes de consumo es la traspuesta de la matriz estructural de la producción de dichos bienes:
\pmb{v_p}=\pmb{S_c}^T \pmb{v_c}\qquad(12''')

Esta solución demuestra la relación intrínseca entre los volúmenes de producción de los medios de consumo y de los medios de producción. Unos volúmenes dados de producción del conjunto de medios de consumo dictan a su vez unos volúmenes necesarios de medios de producción que han de incorporarse al proceso de producción para alcanzar dichos volúmenes de medios de consumo.

No se limita, sin embargo, a darnos esta visión globalizada sobre los dos grandes sectores de la producción, sino que muestra también las relaciones intrínsecas entre todos los bienes, las cantidades relativas de unos respecto a los otros en que estos han de manifestarse dentro del entramado de la producción de bienes para garantizar su estabilidad alrededor de un punto de equilibrio. Son expresión de esa «mano invisible» a que se refieren los economistas cuando se observan los procesos auto regulatorios de la economía.

En el sistema de ecuaciones (11) los volúmenes correspondientes a los bienes de consumo son las variables libres que podrían ser de cualquier magnitud. Dado un valor determinado de los volúmenes de bienes de consumo sería necesario establecer, resolviendo el sistema, la magnitud de las demás variables del sistema, es decir los volúmenes de los medios de producción. Los volúmenes de bienes de consumo se han tomado en este caso como las variables libres siguiendo el hilo de la investigación. En realidad, cualquiera de las g variables del sistema puede tomarse para formar el grupo de las g-p variables libres, en caso de que se parta de su magnitud conocida, calculando las demás por medio de la resolución del sistema.

Teóricamente, la producción de medios de consumo puede ser infinitamente grande, siempre que se guarde la relación dada. En la práctica esto no es posible debido a las limitaciones que impone la naturaleza.

Estas limitaciones son de distinta índole: una de las más importantes, si no la más importante, se debe a la limitación de fuerza de trabajo disponible. Entre otras se puede destacar el hecho de que los recursos naturales se encuentran en cantidades limitadas. También que los procesos tecnológicos imponen ritmos de desarrollo en el tiempo que no se pueden acelerar ilimitadamente.

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